2011-2012学年甘肃省兰州一中高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x是菱形或矩形}，B={x|x是矩形}，则C_AB=（ ）
A．{x|x是菱形}
B．{x|x是内角都不是直角的菱形}
C．{x|x是正方形}
D．{x|x是邻边都不相等的矩形}

2. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₉=81，则a₂+a₅+a₈=（ ）
A．26
B．27
C．28
D．29

3. 难度：中等

已知圆O的半径为R，若A，B是其圆周上的两个三等分点，则的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

经过（x-1）²+（y+2）²=25的圆心，且与向量垂直的直线的方程是（ ）
A．3x-4y-11=0
B．3x-4y+11=0
C．4x+3y-1=0
D．4x+3y+2=0

5. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，a+2b=1，则的取值范围是（ ）
A．（-∞，6）
B．[4，+∞）
C．[6，+∞）
D．

6. 难度：中等

函数的反函数是（ ）
A．y=e^2x-1-1（x＞0）
B．y=e^2x-1+1（x＞0）
C．y=e^2x-1-1（x∈R）
D．y=e^2x-1+1（x∈R）

7. 难度：中等

设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（ ）
A．充分必要条件
B．充分而非必要条件
C．必要而非充分条件
D．既非充分也非必要条件

8. 难度：中等

数列{a_n}，已知对任意正整数n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，则a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n² 等于（ ）
A．（2ⁿ-1）²
B．
C．
D．4ⁿ-1

9. 难度：中等

已知f（x）=的导函数为f′（x），则f′（i）=（i为虚数单位）（ ）．
A．-1-2i
B．-2-2i
C．-2+2i
D．2-2i

10. 难度：中等

已知y=Asin（ωx+ϕ）的最大值为1，在区间上，函数值从1减小到-1，函数图象（如图）与y轴的交点P坐标是（ ）

A．
B．
C．
D．以上都不是

11. 难度：中等

如图，目标函数P=ax+y仅在封闭区域OACB内（包括边界）的点处取得最大值，则a的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

若圆x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量、的夹角为120°，且，则为    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，则角B的大小为    ．

15. 难度：中等

有下列命题：
①函数y=4cos 2x，x∈[-10π，10π]不是周期函数；
②若点P分有向线段的比为λ，且，则λ的值为-4或4；
③函数y=4cos（2x+θ）的图象关于点对称的一个必要不充分条件是；
④函数y=的最小值为2-4
其中正确命题的序号是    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-2|，若a≠0，且a，b∈R，都有不等式|a+b|+|a-b|≥|a|•f（x）成立，则实数x的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

解关于x的不等式|ax-1|＞a+1（a＞-1）．

18. 难度：中等

已知函数（其中ω为正常数，x∈R）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，若A＜B，且，求．

19. 难度：中等

已知圆内一定点A（1，-2），P，Q为圆上的两不同动点．
（1）若P，Q两点关于过定点A的直线l对称，求直线l的方程；
（2）若圆O₂的圆心O₂与点A关于直线x+3y=0对称，圆O₂与圆O₁交于M，N两点，且，求圆O₂的方程．

20. 难度：中等

要获得某项英语资格证书必须依次通过听力和笔试两项考试，只有听力成绩合格时，才可继续参加笔试的考试．已知听力和笔试各只允许有一次不考机会，两项成绩均合格方可获得证书．现某同学参加这项证书考试，根据以往模拟情况，听力考试成绩每次合格的概率均为，笔试考试成绩每次合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（2）求他恰好补考一次就获得证书的概率；
（3）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求参加考试次数ξ的分布列和期望值．

21. 难度：中等

已知无穷数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是首项为10，公差为-2的等差数列；a_m+1，a_m+2，…a_2m是首项为，公比为的等比数列（m≥3，m∈N^*），并对任意n∈N^*，均有a_n+2m=a_n成立．
（1）当m=12时，求a₂₀₁₀；
（2）若，试求m的值；
（3）判断是否存在m，使S_128m+3≥2010成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n．
（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（Ⅱ）求证：n＞m；
（Ⅲ）求证：对于任意的t＞-2，总存x∈（-2，t），满足，并确定这样的x的个数．