2011-2012学年广西桂林十八中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数等于（ ）
A．-1+i
B．1+i
C．-2+2i
D．2+2i

2. 难度：中等

函数f（x）=3^x-1（x≤2）的反函数是（ ）
A．（x≤3）
B．（0＜x≤3）
C．（x≤3）
D．（0＜x≤3）

3. 难度：中等

已知，则等于（ ）
A．
B．7
C．
D．-7

4. 难度：中等

若a，b∈R，则成立的一个充分不必要的条件是（ ）
A．b＞a＞0
B．a＞b＞0
C．b＜a
D．a＜b

5. 难度：中等

已知f（x）=|x-4|+|x+6|的最小值为n，则二项式展开式中常数项是（ ）
A．第6项
B．第7项
C．第8项
D．第9项

6. 难度：中等

已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足的x取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=e^x+a•e^-x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）
A．ln2
B．-ln2
C．
D．

8. 难度：中等

将函数f（x）=2sin（2x+）-3的图形按向量=（m，n）平移后得到函数g（x）的图形，满足g（-x）=g（+x）和g（-x）+g（x）=0，则向量的一个可能值是（ ）
A．（-，3）
B．（，3）
C．（-，-3）
D．（，-3）

9. 难度：中等

映射f：A→B如果满足集合B中的任意一个元素在A中都有原像，则称为满射，已知集合A中有5个元素，集合B中有3个元素，那么集合A到B的不同满射的个数为（ ）
A．243
B．240
C．150
D．72

10. 难度：中等

已知A，B，C，D在同一球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若，则B，C两点间的球面距离是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知双曲线C₁：-=1的左准线l，左右焦点分别为F₁、F₂，抛物线C₂的准线为l，焦点为F₂，P是C₁与C₂的一个交点，则|PF₂|=（ ）
A．40
B．32
C．8
D．9

12. 难度：中等

设函数若关于x的方程f²（x）=af（x）恰有四个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-∞，0）
B．（0，1）
C．[0，1]
D．（1，+∞）

二、填空题

13. 难度：中等

由命题“存在x∈R，使x²+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为    ．

14. 难度：中等

若变量x，y满足约束条件，则z=x²+y²+4y+1的最小值为    ．

15. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知 BC=1，BB₁=2，∠BAC=30°，∠BCC₁=90°，AB⊥侧面BB₁C₁C，则直线C₁B与侧面ACC₁A₁所成角的正弦值为    ．

16. 难度：中等

定义在R上的偶函数y=f（x）满足：
①对x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）；
②当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有．
则：若方程f（x）=0在区间[a，6-a]上恰有3个不同实根，实数a的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若x∈[0，π]，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（C）=1，且b²=ac，求sinA的值．

18. 难度：中等

质检部门将对12个厂家生产的婴幼儿奶粉进行质量抽检，若被抽检厂家的奶粉经检验合格，则该厂家的奶粉即可投放市场；若检验不合格，则该厂家的奶粉将不能投放市场且作废品处理．假定这12个厂家中只有2个厂家的奶粉存在质量问题（即检验不能合格），但不知道是哪两个厂家的奶粉．
（I）从中任意选取3个厂家的奶粉进行检验，求至少有2个厂家的奶粉检验合格的概率；
（Ⅱ）每次从中任意抽取一个厂家的奶粉进行检验（抽检不重复），记首次抽检到合格奶粉时已经检验出奶粉存在质量问题的厂家个数为随即变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．

19. 难度：中等

18、在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求证：BC⊥平面PBD；
（2）设E为侧棱PC上一点，，试确定λ的值，使得二面角E-BD-P的大小为45°．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足条件：a₁=1，a_n+1=2a_n+1，n∈N﹡．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）令c_n=，T_n是数列{c_n}的前n项和，证明T_n＜1．

21. 难度：中等

已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x-klnx，常数k＞0．
（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数g（x）=xf（x）在区间（1，2）上是增函数，求k的取值范围；
（Ⅲ） 设函数F（x）=，求证：F（1）F（2）F（3）…F（2n）＞2ⁿ（n+1）ⁿ（n∈N^*）．