2011-2012学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知复数z=i（i-3）（i是虚数单位），则复数z的虚部为    ．

2. 难度：中等

集合P={（x，y）|x+y=0}，Q={（x，y）|x-y=2}，则P∩Q=   

3. 难度：中等

不等式4^x-2^x+2＞0的解集为    ．

4. 难度：中等

已知函数y=log₂（ax-1）在（1，2）单调递增，则a的取值范围为    ．

5. 难度：中等

随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a₁，a₂，…，a_n，若n=4，a₁=195，a₂=197，a₃=193，，a₄=199，，则如图所示的程序框图输出的S=    ．

6. 难度：中等

函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，且函数图象关于点对称，则函数解析式为    ．

7. 难度：中等

对于直线m，n，和平面α，β，γ，有如下四个命题：
（1）若m∥α，m⊥n，，则n⊥α
（2）若m⊥α，m⊥n，则n∥α
（3）若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ
（4）若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β
其中正确命题的序号是    ．

8. 难度：中等

直线y=kx+3与圆（x-3）²+（y-2）²=4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围是    ．

9. 难度：中等

命题p：已知椭圆，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F₂作∠F₁PF₂的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线，F₁，F₂是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F₂作∠F₁PF₂的    的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．

10. 难度：中等

设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列，且a₂+a₅=2a_m，则m=    ．

11. 难度：中等

已知△ABC中，∠B=45°，AC=4，则△ABC面积的最大值为    ．

12. 难度：中等

设点（a，b）在平面区域D={（a，b）||a|≤1，|b|≤1}中均匀分布出现，则双曲线的离心率e满足1＜e＜的概率为    ．

13. 难度：中等

设点O是△ABC的三边中垂线的交点，且AC²-2AC+AB²=0，则的范围是    ．

14. 难度：中等

设函数，其中a∈R，m是给定的正整数，且m≥2，如果不等式f（x）＞（x-1）lgm在区间[1，+∞）有解，则实数a的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知，，．
（1）若，求tanα•tanβ的值；
（2）求的值．

16. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，G分别是AA₁，D₁C，AD的中点．
求证：（1）MN∥平面ABCD；
（2）设α是过MN的任一平面，求证：α⊥平面B₁BG．

17. 难度：中等

如图，A，B是单位圆上的两个质点，B点坐标为（1，0），∠BOA=60°，质点A以1弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点B以1弧度/秒的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点A作AA₁⊥y轴于A₁，过点B作BB₁⊥y轴于B₁．
（1）求经过1秒后，∠BOA的弧度数；
（2）求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间；
（3）记A₁B₁的距离为y，请写出y与时间t的函数关系式，并求出y的最大值．

18. 难度：中等

已知长轴在x轴上的椭圆的离心率e=，且过点P（1，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点A（x，y）为圆x²+y²=1上任一点，过点A作圆的切线交椭圆于B，C两点，求证：CO⊥OB（O为坐标原点）．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+bx²+cx在x=1处的切线方程为6x-2y-1=0，f′（x）为f（x）的导函数，g（x）=a•e^x（a，b，c∈R）．
（1）求b，c的值；
（2）若存在x∈（0，2]，使g（x）=f′（x）成立，求a的范围．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项积为T_n，已知对∀n，m∈N₊，当n＞m时，总有（q＞0是常数）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设正整数k，m，n（k＜m＜n）成等差数列，试比较T_n•T_k和（T_m）²的大小，并说明理由；
（3）探究：命题p：“对∀n，m∈N₊，当n＞m时，总有（q＞0是常数）”是命题t：“数列{a_n}是公比为q（q＞0）的等比数列”的充要条件吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．