2011-2011学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

在△ABC中，已知a=1，b=2，C=60°，则c=    ．

2. 难度：中等

某年级有三个班级，人数分别为45、50、55，为加强班级学生民主化管理，拟就某项决策进行问卷调查，按分层抽样的方法抽取30人，则各个班级被抽取的人数分别为    ．

3. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²+x+1=0”的否定是：    ．

4. 难度：中等

复数的模为    ．（其中i是虚数单位）

5. 难度：中等

已知ABCD是半径为2圆的内接正方形，现在圆的内部随机取一点P，点P落在正方形ABCD内部的概率为    ．

6. 难度：中等

如图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s=    ．

7. 难度：中等

设A为奇函数f（x）=x³+x+a（a为常数）图象上一点，在A处的切线平行于直线y=4x，则A点的坐标为    ．

8. 难度：中等

已知a+b=t（a＞0，b＞0），t为常数，且ab的最大值为2，则t=    ．

9. 难度：中等

将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为    ．

10. 难度：中等

在集合{x|}中取三个不同元素排成一列，使其成等比数列，则此等比数列的公比为    ．

11. 难度：中等

设α，β，γ表示是三个不同的平面，a、b、c表示是三条不同的直线，给出下列五个命题：
（1）若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β；
（2）若a∥α，b∥α，β∩α=c，a⊂β，b⊂β，则a∥b；
（3）若a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α⇒a⊥α；
（4）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α⊥β；
（5）若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b．
其中正确命题的序号是    ．

12. 难度：中等

过点C（3，4）且与x轴，y轴都相切的两个圆的半径分别为r₁，r₂，则r₁r₂=    ．

13. 难度：中等

设实数a≥1，使得不等式x|x-a|+，对任意的实数x∈[1，2]恒成立，则满足条件的实数a的范围是    ．

14. 难度：中等

集合M={f（x）|存在实数t使得函数f（x）满足f（t+1）=f（t）+f（1）}，下列函数（a，b，c，k都是常数）
（1）y=kx+b（k≠0，b≠0）；（2）y=ax²+bx+c（a≠0）；
（3）y=a^x（0＜a＜1）；（4）y=；
（5）y=sinx
属于M的函数有    ．（只须填序号）

二、解答题

15. 难度：中等

如图，三棱锥A-BCD，BC=3，BD=4，CD=5，AD⊥BC，E、F分别是棱AB、CD的中点，连接CE，G为CE上一点．
（1）求证：平面CBD⊥平面ABD；
（2）若 GF∥平面ABD，求的值．

16. 难度：中等

某学校需要一批一个锐角为θ的直角三角形硬纸板作为教学用具（≤θ≤），现准备定制长与宽分别为a、b（a＞b）的硬纸板截成三个符合要求的△AED、△BAE、△EBC．（如图所示）
（1）当θ=时，求定制的硬纸板的长与宽的比值；
（2）现有三种规格的硬纸板可供选择，A规格长80cm，宽30cm，B规格长60cm，宽40cm，C规格长72cm，宽32cm，可以选择哪种规格的硬纸板使用．

17. 难度：中等

如图，半径为1圆心角为圆弧上有一点C．
（1）当C为圆弧 中点时，D为线段OA上任一点，求的最小值．
（2）当C在圆弧上运动时，D、E分别为线段OA、OB的中点，求的取值范围．

18. 难度：中等

如图，已知椭圆，左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B，P为椭圆上在第一象限内一点．
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若=，求直线PF₁的斜率k；
（3）若成等差数列，椭圆的离心率e，求直线PF₁的斜率k的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=
（1）当时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）在f′（x）的单调区间上也是单调的，求实数a的范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}，对于任意n≥2，在a_n-1与a_n之间插入n个数，构成的新数列{b_n}成等差数列，并记在a_n-1与a_n之间插入的这n个数均值为C_n-1．
（1）若a_n=，求C₁，C₂，C₃；
（2）在（1）的条件下是否存在常数λ，使{C_n-1-λC_n}是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由；
（3）求出所有的满足条件的数列{a_n}．

21. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．
（1）求证：FB=FC；
（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=3，求AD的长．

22. 难度：中等

已知矩阵，，求满足AX=B的二阶矩阵X．

23. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．

24. 难度：中等

（不等式选做题）对于实数x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．

25. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，平面ABC⊥平面APC，AB=BC=AP=PC=，∠ABC=∠APC=90°．
（1）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（2）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值．

26. 难度：中等

对称轴为坐标轴，顶点在坐标原点的抛物线C经过两点A（a，2a）、B（4a，4a），（其中a为正常数）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设动点T（m，0）（m＞a），直线AT、BT与抛物线C的另一个交点分别为A₁、B₁，当m变化时，记所有直线A₁B₁组成的集合为M，求证：集合M中的任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上．