2011-2012学年湖北省黄冈市蕲春县李时珍中学高三（上）第三次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知f（x）=，命题P：∀x∈[0，+∞），f（x）≤1，则（ ）
A．P是假命题，￢P：∃x∈[0，+∞），f（x）＞1
B．P是假命题，￢P：∃x∈[0，+∞），f（x）≥1
C．P是真命题，￢P：∃x∈[0，+∞），f（x）＞1
D．P是真命题，￢P：∃x∈[0，+∞），f（x）≥1

2. 难度：中等

已知p：|x+1|＞2，q：x＞a，且￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围可以是（ ）
A．a≥1
B．a≤1
C．a≥-1
D．a≤-3

3. 难度：中等

若|丨=2||≠0，=+，且⊥，则向量与的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

4. 难度：中等

已知{a_n}是首项为1的等比数列，s_n是{a_n}的前n项和，且9s₃=s₆，则数列的前5项和为（ ）
A．或5
B．或5
C．
D．

5. 难度：中等

若关于x的不等式log₂（|x+1|-|x-7）≤a恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．a≥3
B．a＞3
C．a≤3
D．a＜3

6. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a²-b²=bc，sinC=2sinB，则A=（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

7. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₂₀=S₄₀，下列结论中一定正确的是（ ）
A．S₃₀是S_n中的最大值
B．S₃₀是S_n中的最小值
C．S₃₀=0
D．S₆₀=0

8. 难度：中等

如图是函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象，M、N分别是最大、最小值点，O为坐标原点且，则A•ω的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设函数若f（x）是奇函数，则g（2）的值是（ ）
A．
B．-4
C．
D．4

10. 难度：中等

定义：在数列{a_n}中，若满足，d为常数）我们称{a_n}为“比等差数列”，已知在比等差数列{a_n}中，a₁=a₂=1，a₃=2，则的末位数字是（ ）
A．6
B．4
C．2
D．8

二、填空题

11. 难度：中等

已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是    ．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=，则S₂₀₁₁=    ．

13. 难度：中等

已知向量，的夹角为，且||=，||=2．在△ABC中，=2+2，=2-6，D为BC边的中点，则||=    ．

14. 难度：中等

实数x，y满足，则u=的范围是    ．

15. 难度：中等

把整数排成如图1的三角形数阵，然后去掉第偶数行中的所有奇数和第奇数行中的所有偶数，可得到如图2的三角形数阵．现将图2中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{a_n}，若a_k=2011，则k=     

三、解答题

16. 难度：中等

设函数
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）△ABC，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，求a的值．

17. 难度：中等

在数列a_n中，a₁=1，．
（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列b_n的前n项和S_n．

18. 难度：中等

设函数．
（1）求函数f（x）的单调区间、极值．
（2）若当x∈[a+1，a+2]时，恒有|f′（x）|≤a，试确定a的取值范围．

19. 难度：中等

某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：（单位：万美元）

	年固定成本	每件产品成本	每件产品销售价	每年最多可生产的件数
A产品	20	m	10	200
B产品	40	8	18	120

其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计m∈[6，8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x²万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y₁，y₂与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；
（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项为和S_n，点在直线上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{c_n}的前n和为T_n，求使不等式对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

21. 难度：中等

已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．令．
（1）求g（x）的表达式；
（2）若∃x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
（3）设1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：对∀x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．