2011-2012学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数=（ ）
A．1
B．-1
C．i
D．-i

2. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，使tanx=1，命题q：∀x∈R，x²＞0下面结论正确的是（ ）
A．命题“p∧q”是真命题
B．命题“p∧¬q”是假命题
C．命题“¬p∨q”是真命题
D．命题“¬p∧¬q”是假命题

3. 难度：中等

已知点A（-1，0）、B（1，3），向量=（2k-1，2），若⊥，则实数k的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

4. 难度：中等

把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
A．，x∈R
B．，x∈R
C．，x∈R
D．，x∈R

5. 难度：中等

设函数，若f（a）+f（-1）=2，则a=（ ）
A．-3
B．±3
C．-1
D．±1

6. 难度：中等

下列大小关系正确的是（ ）
A．0.4³＜3^0.4＜log₄0.3
B．0.4³＜log₄0.3＜3^0.4
C．log₄0.3＜0.4³＜3^0.4
D．log₄0.3＜3^0.4＜0.4³

7. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃，S₉，S₆成等差数列，则（ ）
A．S₆=S₃
B．S₆=-2S₃
C．S₆=S₃
D．S₆=2S₃

8. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-2，+∞），部分对应值如下表，

x	-2	0	4
f（x）	1	-1	1

f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示：若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．（，3）

二、填空题

9. 难度：中等

倡导绿色重庆，崇尚健康生活．为打造绿色重庆，某林业部门引进一批小叶榕、松柏、梧桐三种树苗，其数量之比为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，如果抽出的样本中小叶榕树苗有80棵．那么此样本的容量n=    ．

10. 难度：中等

若，则A∩B=    ．

11. 难度：中等

已知，且，则sinα=    ．

12. 难度：中等

若函数f（x）=log_ax在[2，4]上的最大值与最小值之差为2，则a=    ．

13. 难度：中等

已知关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a，如果不等式的解集为空集，则实数a的取值范围为    ．

14. 难度：中等

如图，在△ABC中，D为BC边的中点，，与AD交于P点，，则x=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

已知{a_n}是等比数列，a₁=2，a₃=18；{b_n}是等差数列，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃＞20．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n的公式；
（3）设P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n-2，Q_n=b₁₀+b₁₂+b₁₄+…+b_2n+8，其中n=1，2，…，试比较P_n与Q_n的大小，并证明你的结论．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．
（I）求sinC的值；
（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．

18. 难度：中等

已知在函数f（x）=mx³-x的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=a有三个不同实根，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-2011，对x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}中的最大项．

20. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）有三个零点x₁，x₂，x₃，且，x₂x₃=6，，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若，3a＞2c＞2b，求证：导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若导函数f'（x）的两个零点之间的距离不小于，求的取值范围．