2011-2012学年湖南省澧县一中、岳阳县一中高三（上）11月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

x∈R，下列四个集合中是空集的是（ ）
A．{x|x²-3x+2=0}
B．{x|x²＜x}
C．{x|x²-2x+3=0}
D．{x|sinx+cosx=}

2. 难度：中等

函数的一个单调递减区间是（ ）
A．[0，π]
B．
C．
D．

3. 难度：中等

定积分的值为（ ）
A．-1
B．1
C．e²-1
D．e²

4. 难度：中等

等差数列{a_n}满足a₁+a₄+a₁₀为常数，则其前（ ）项的和也是常数．
A．8
B．9
C．10
D．11

5. 难度：中等

设平面向量=（-2，1），=（λ，-1），若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A．
B．（2，+∞）
C．（，+∞）
D．（-∞，）

6. 难度：中等

已知函数f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+1，则g（）++…+=（ ）
A．2012
B．2011
C．4020
D．4022

7. 难度：中等

已知函数f（x）=（）^x-log₃x，正实数a，b，c是公差为正实数的等差数列，且满足f（a）•f（b）•f（c）＞0；已知命题P：实数d是函数y=f（x）的一个零点；则下列四个命题：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c中是命题P的必要不充分条件的命题个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

已知关于x的方程kx=sinx（k为正常数）在区间（-3π，3π）内有且仅有5个实数根，从小到大依次为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则x₁与tanx₁的大小关系为（ ）
A．x₁＞tanx₁
B．x₁＜tanx₁
C．x₁=tanx₁
D．以上都有可能

二、填空题

9. 难度：中等

命题“∃x∈R，2x²+2x-1≤0”的否定是    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，A=60°，b=1，=    ．

11. 难度：中等

给出下列命题：
（1）存在实数α，使sinα•cosα=1；
（2）函数y=sin（）是偶函数；
（3）x=是函数y=sin（2x）的一条对称轴；
（4）若α，β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ；
（5）将函数y=sin（2x-）的图象先向左平移，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的解析式为y=sinx．
其中真命题的序号是    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的偶函数，且f（x+1）•f（x-1）=1，f（x）＞0恒成立，则f（2011）=    ．

13. 难度：中等

已知下面的数列和递推关系：
（1）数列{a_n}（a_n=n）有递推关系a_n+2=2a_n+1-a_n；
（2）{b_n}（b_n=n²）有递推关系b_n+3=3b_n+2-3b_n+1+b_n；
（3））{c_n}（c_n=n³）有递推关系c_n+4=4c_n+3-6c_n+2+4c_n+1-c_n；
试猜想：数列{d_n}（d_n=n⁴）的类似的递推关系    ．

14. 难度：中等

f（x）=+5sinx（-1≤x≤1），f_max=M，f_min=N，则M+N=    ．

15. 难度：中等

设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）若首项a₁=，公差d=1，满足S_k²=（S_k）²的正整数k=    ；
（2）对于一切正整数k都有S_k²=（S_k）²成立的所有的无穷等差数列是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量，，，，k，t为实数．
（Ⅰ）当k=-2时，求使成立的实数t值；
（Ⅱ）若，求k的取值范围．

17. 难度：中等

已知锐角△ABC的三内角A、B、C的对边分别是．
（1）求角A的大小；
（2）求的值．

18. 难度：中等

定义在非零实数集上的函数f（x）满足关系式f（xy）=f（x）+f（y）且f（x）在区间（0，+∞）上是增函数
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（2）解不等式f（x）+f（x-）≤0．

19. 难度：中等

广东某品牌玩具企业的产品以往专销欧州市场，在欧债危机的影响下，欧州市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，主动投入内销产品的研制开发，并基本形成了市场规模，自2010年9月以来的第n个月（2010年9月为每一个月），产品的内销量、出口量和销售总量（内销量与出口量的和）分别为b_n、c_n和a_n（单位万件），分析销售统计数据发现形成如下营销趋势：b_n+1=aa_n，c_n+1=a_n+b（其中a、b为常数），且a₁=1万件，a₂=1.5万件，a₃=1.875万件．
（1）求a，b的值，并写出a_n+1与a_n满足的关系式；
（2）如果该企业产品的销售总量a_n呈现递增趋势，且控制在2万件以内，企业的运作正常且不会出现资金危机；试证明：a_n＜a_n+1＜2．
（3）试求从2010年9月份以来的第n个月的销售总量a_n关于n的表达式．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=2lnx，g（x）=ax²+3x．
（1）设直线x=1与曲线y=f（x）和y=g（x）分别相交于点P、Q，且曲线y=f（x）和y=g（x）在点P、Q处的切线平行，若方程f（x²+1）+g（x）=3x+k有四个不同的实根，求实数k的取值范围；
（2）设函数F（x）满足F（x）+x[f′（x）-g′（x）]=-3x²-（a+6）x+1．其中f′（x），g′（x）分别是函数f（x）与g（x）的导函数；试问是否存在实数a，使得当x∈（0，1]时，F（x）取得最大值，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

设数列{a_n}满足a_n＞0，（n∈N⁺），其前n项和为S_n，且
（1）求a_n+1与S_n之间的关系，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）令，求证：．