2011-2012学年河南师大附中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数z₁=1+i，z₂=2+bi，若为纯虚数，则实数b=（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1

2. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（-3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（ ）
A．（-3，0）∪（0，3）
B．（-∞，-3）∪（3，+∞）
C．（-3，0）∪（3，+∞）
D．（-∞，-3）∪（0，3）

3. 难度：中等

执行程序框图，若输出的n=5，则输入整数p的最小值是（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16

4. 难度：中等

甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知锐角α终边上一点P的坐标是（4sin3，-4cos3），则α=（ ）
A．3
B．-3
C．
D．

6. 难度：中等

一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．2π+2
B．4π+2
C．2π+
D．4π+

7. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C、的对边，若向量和平行，且，当△ABC的面积为时，则b=（ ）
A．
B．2
C．4
D．2+

8. 难度：中等

已知F₁、F₂分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

9. 难度：中等

设，则二项式，展开式中含x²项的系数是（ ）
A．-192
B．192
C．-6
D．6

10. 难度：中等

已知对数函数f（x）=log_ax是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

（2011年高考全国卷理科）设向量满足||=||=1，=，=60，则的最大值等于（ ）
A．2
B．
C．
D．1

12. 难度：中等

函数的最大值是（ ）
A．
B．-3
C．
D．1

二、填空题

13. 难度：中等

若函数f（x）=e^x-2x-a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

椭圆的焦点为F₁，F₂，过F₂垂直于x轴的直线交椭圆于一点P，那么|PF₁|的值是     ．

15. 难度：中等

已知平面区域U={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y≥0，x-2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为     ．

16. 难度：中等

已知函数f（n）=n²cos（nπ），且a_n=f（n）+f（n+1），则a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）设b_n=．证明：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

19. 难度：中等

在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．
（Ⅰ）求仅一次摸球中奖的概率；
（Ⅱ）求连续2次摸球，恰有一次不中奖的概率；
（Ⅲ）记连续3次摸球中奖的次数为ξ，求ξ的分布列．

20. 难度：中等

如图，设F是椭圆的左焦点，直线l为对应的准线，直线l与x轴交于P点，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求证：对于任意的割线PAB，恒有∠AFM=∠BFN；
（Ⅲ）求三角形△ABF面积的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数h（x）=x²-mx+4，当a=2时，若∃x₁∈（0，1），∀x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O₁与⊙O₂交于M、N两点，直线AE与这两个圆及MN依次交于A、B、C、D、E．且AD=19，BE=16，BC=4，求线段AE的长．

23. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知a+b+c=1，求证：．