2011-2012学年湖南省永州市新田二中、补校高三（上）第一次联考数学（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，S_n=na_n-n（n-1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：a_n=+++…+，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）令c_n=（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

2. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知对任意的x＞0，ax（2-lnx）≤1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由．

二、选择题

3. 难度：中等

1、设A、B为非空集合，定义集合A*B为如图非阴影部分表示的集合，若，B={y|y=3^x，x＞0}，则A*B=（ ）

A．（0，2）
B．[0，1]∪[2，+∞）
C．（1，2]
D．[0，1]∪（2，+∞）

4. 难度：中等

已知命题p：对任意x∈R，有cosx≤1，则（ ）
A．￢p：存在x∈R，使cosx≥1
B．￢p：存在x∈R，使cosx≥1
C．￢p：存在x∈R，使cosx＞1
D．￢p：存在x∈R，使cosx＞1

5. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄=18-a₅，则S₈=（ ）
A．72
B．68
C．54
D．90

6. 难度：中等

若两个非零向量，满足|+|=|-|=2||，则向量+与-的夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知等于（ ）
A．0
B．-1
C．2
D．1

8. 难度：中等

设命题p：f（x）=2x²+mx+l在（0，+∞）内单调递增，命题q：m≥-1，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

对于函数，给出下列四个命题：
（1）函数在区间上是减函数；
（2）直线是函数图象的一条对称轴；
（3）函数f（x）的图象可由函数y=2sin2x的图象向右平移而得到；
（4）若 R，则f（x）=f（2-x），且的值域是．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意的x₁∈[-1，2]，存在x∈[-1，2]，使g（x₁）=f（x），则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．[3，+∞）
D．（0，3]

三、填空题

11. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知，则角A等于    ．

12. 难度：中等

已知函数y=Asin（ωx+φ）+b的部分图象如图所示，A＞0，ω＞0，|φ|＜，则φ=    ．

13. 难度：中等

设f（x）=，则∫²f（x）dx=    ．

14. 难度：中等

函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_k，a_k²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_k+1，k为正整数，a₁=，则a_n=    ．

15. 难度：中等

在等腰直角三角形ABC中，∠A=，AB=6，E为AB的中点，=3，则•=_{_______}．

16. 难度：中等

在R上定义运算△：x△y=x（1-y） 若不等式（x-a）△（x+a）＜1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是    ．

17. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2）且当x∈[-2，0]时，f（x）=（）^x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是    ．

四、解答题

18. 难度：中等

已知命题p：函数y=log_0.5（x²+2x+a）的定义域为R，命题q：函数y=（）^x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知=（3，2），=（-1，2），=（4，1）．
（Ⅰ）求满足=x+y的实数x，y的值；
（Ⅱ）若（+k）⊥（2-），求实数k的值．

20. 难度：中等

在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=，且
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

21. 难度：中等

有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定．大桥上的车距d（m）与车速v（km/h）和车长l（m）的关系满足：（k为正的常数），假定车身长为4m，当车速为60（km/h）时，车距为2.66个车身长．
（1）写出车距d关于车速v的函数关系式；
（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？