2011-2012学年浙江省台州市高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．y=3
D．

2. 难度：中等

点A（2，-3，1）关于原点对称的点A′坐标是（ ）
A．（-4，6，2）
B．（-2，-3，-1）
C．（-2，3，1）
D．（-2，3，-1）

3. 难度：中等

已知直线a⊂α，则“l⊥a”是“l⊥α”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

如图的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线A₁B与B₁C所成的角是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

5. 难度：中等

设抛物线y²=4x上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为3，P为侧棱B₁B上的点，则四棱锥P-ACC₁A₁的体积为（ ）

A．
B．1
C．
D．2

7. 难度：中等

已知点A，B的坐标分别是（-1，0），（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线AM与直线BM的斜率之差是2，则点M的轨迹方程是（ ）
A．x²=-（y-1）
B．x²=-（y-1）（x≠±1）
C．xy=x²-1
D．xy=x²-1（x≠±1）

8. 难度：中等

一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知抛物线y²=8x的焦点F与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为A，且AF与x轴垂直，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设直线l与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）
A．在平面α内有且只有一条直线与直线l平行
B．过直线l有且只有一个平面与平面α平行
C．与直线l平行的直线可能与平面α垂直
D．与直线l垂直的平面不可能与平面α平行

11. 难度：中等

已知圆C：（x-b）²+（y-c）²=a²（a＞0）与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限，则直线ax+by+c=0与直线x+y+1=0的交点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

12. 难度：中等

已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，沿对角线AC将矩形ABCD折成一个空间四边形，则空间四边形ABCD的外接球的体积为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．π

13. 难度：中等

如图，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，若tan∠ADP+2tan∠BCP=10，则点P在平面a内的轨迹是（ ）

A．圆的一部分
B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，若直线l：y=k（x-2）+1与x，y轴分别交于A，B两点，则下列命题是假命题的是（ ）
A．存在正实数p，使△AOB的面积为p的直线l仅有一条
B．存在正实数p，使△AOB的面积为p的直线l仅有两条
C．存在正实数p，使△AOB的面积为p的直线l仅有三条
D．存在正实数p，使△AOB的面积为p的直线l仅有四条

二、填空题

15. 难度：中等

若直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直，则a=    ．

16. 难度：中等

设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为    ．

17. 难度：中等

若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是    cm³．

18. 难度：中等

设F₁，F₂为椭圆的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，则四边形PF₁QF₂面积的最大值为    ．

19. 难度：中等

平面内称横坐标为整数的点为“次整点”．过函数图象上任意两个次整点作直线，则倾斜角大于60°的直线条数为    ．

20. 难度：中等

已知，则k的取值范围    ．

三、解答题

21. 难度：中等

已知圆锥的正视图是边长为2的正三角形，O是底面圆心．
（Ⅰ）求圆锥的侧面积；
（Ⅱ）经过圆锥的高AO的中点O′作平行于圆锥底面的截面，求截得的两部分几何体的体积比．

22. 难度：中等

已知p：过点M（2，1）的直线与焦点在x轴上的椭圆恒有公共点，q：方程表示双曲线，问：p是q的什么条件？并说明理由．

23. 难度：中等

已知圆与直线l：x+2y-4=0相交于A，B两点．
（Ⅰ）求弦AB的长；
（Ⅱ）若圆C₂经过E（1，-3），F（0，4），且圆C₂与圆C₁的公共弦平行于直线2x+y+1=0，求圆C₂的方程．

24. 难度：中等

已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AB=1，AD=2，F为CD的中点且AF∥平面BCE．
（I） 求线段DE的长；
（II） 求直线BF和平面BCE所成角的正切值．

25. 难度：中等

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4．
（I）求抛物线的方程；
（II）若斜率为的直线l与抛物线C交于A，B两点，且点M在直线l的右上方，求证：△MAB的内心在直线x=3上；
（III）在（II）中，若∠AMB=60°，求△MAB的内切圆半径长．