2011-2012学年辽宁省部分重点中学高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²-4x+3＜0}，B={x|y=ln（x-2）}，则（C_RB）∩A等于（ ）
A．{x|-2≤x＜1}
B．{x|-2≤x≤2}
C．{x|1＜x≤2}
D．{x|x＜2}

2. 难度：中等

若（a+4i）i=b+i其中a，b∈R，i是虚数单位，则a-b=（ ）
A．3
B．5
C．-3
D．-5

3. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知函数y=cos（2x+φ）（φ＞0），则下列命题正确的是（ ）
A．不论φ取何值，函数f（x）都是偶函数
B．存在常数φ，使得函数f（x）是奇函数
C．不论φ取何值时，函数f（x）在区间上是减函数
D．函数f（x）的图象，一定可由函数y=cos2x的图象向左平移φ个单位得到

5. 难度：中等

如图所示的程序框图的输出值y∈（1，2]，则输入值x∈（ ）

A．[-log₂3，-1）∪[1，3）
B．（-1，-log₃2]∪[1，2）
C．[-log₂3，-1）∪（1，3]
D．（-1，-log₃2]∪（1，2]

6. 难度：中等

袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，a₂₀₁₁+a₂₀₁₂＞0，a₂₀₁₁×a₂₀₁₂＜0则使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是（ ）
A．4021
B．4022
C．4023
D．4024

8. 难度：中等

在△ABC中，A，B，C三内角所对的边分别为a，b，c，若，，则角A的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，正方体AC₁的棱长为1，过点A作平面A₁BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（ ）
A．点H是△A₁BD的垂心
B．AH垂直平面CB₁D₁
C．AH的延长线经过点C₁
D．直线AH和BB₁所成角为45°

10. 难度：中等

有红、黄、蓝三种颜色的球各3个，每种颜色的3个球分别标有数字1，2，3，将此9个球排成3行3列，要求同行颜色相同，但同列中任何两上数字不同，则不同的排列有（ ）
A．36种
B．72种
C．108种
D．144种

11. 难度：中等

如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于 （ ）

A．
B．
C．
D．1

12. 难度：中等

已知双曲线的左右焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线右支一的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．（1，2]
C．
D．（1，3]

二、解答题

13. 难度：中等

已知递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂、a₄的等差中项．求数列{a_n}的通项公式．

三、填空题

14. 难度：中等

一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工    人．

15. 难度：中等

给出下列四个结论：
①抛物线y=-2x²的焦点坐标是；
②已知直线l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0则l₁⊥l₂充要条件是；
③的展开式中x⁴项的系数为210，则实数m的值为1；
④回归直线必过点．
其中结论正确的是    ．（将所有正确结论的序号都写上）

16. 难度：中等

计算，可以采用以下方法：构造恒等式，两边对x求导，得，在上式中令x=1，得．类比上述计算方法，计算=    ．

四、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²的最大值和最小正周期；
（2）若f（x）=2f'（x），求的值．

18. 难度：中等

某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：

	信息技术	生物	化学	物理	数学
周一
周三
周五

根据上表：
（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE为菱形，∠BAD=120°，PA=AB，G，F分别是线段CE，PB上的动点，且满足．
（1）求证：PG∥平面PDC；
（2）求λ的值，使得二面角F-CD-G的余弦值为．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．又设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：直线AE与x轴相交于定点Q；
（3）求的取值范围．

21. 难度：中等

设函数内有极值．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），求证：．

22. 难度：中等

如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．
（1）求证：AG•EF=CE•GD；
（2）求证：．

五、填空题

23. 难度：中等

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角．
（I）写出直线l的参数方程是   
（II）设l与圆ρ=2相交与两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积是    ．

六、解答题

24. 难度：中等

选修4-5；不等式选讲
已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．