2011-2012学年湖南省湘西州边城高级中学高三（上）月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设A={1，x²}，B={x}，且A∪B=A，则实数x为（ ）
A．0或1
B．1
C．0或-1
D．0

2. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²-ax+4，若f（x+1）是偶函数，则实数a的值为（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2

3. 难度：中等

命题“设a、b、c∈R，若ac²＞bc²，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

4. 难度：中等

设函数f（x）（x∈R）满足∵f（-x）=f（x），f（x+2）=f（x），则y=f（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

曲线y=sinx（0≤x≤π）与直线围成的封闭图形的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若函数f（x）=，若f（a）＞f（-a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（-1，0）∪（0，1）
B．（-∞，-1）∪（1，+∞）
C．（-1，0）∪（1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（0，1）

7. 难度：中等

观察下列各式：5⁵=3125，5⁶=15625，5⁷=78125，…，则5²⁰¹¹的末四位数字为（ ）
A．3125
B．5625
C．0625
D．8125

8. 难度：中等

已知定义域为R的函数f（x）满足f（-x）=-f（x+4），则x＞2时，f（x）单调递增，若x₁+x₂＜4，且（x₁-2）（x₂-2）＜0，则f（x₁）+f（x₂）与0的大小关系是（ ）
A．f（x₁）+f（x₂）＞0
B．f（x₁）+f（x₂）=0
C．f（x₁）+f（x₂）＜0
D．f（x₁）+f（x₂）≤0

二、填空题

9. 难度：中等

计算÷=    ．

10. 难度：中等

设集合M={1，2}，N={a²}，则“a=1”是“N⊆M”的    条件．（填充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分又不必要）

11. 难度：中等

已知：y=log_a（2-ax）在[0，1]上是单调递减的，则函数f（x）=x²-ax+1在[0，1]上的最大值是    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+1）+f（x）=3，当x∈[0，1]时，f（x）=2-x，则f（-2 009.9）=    ．

13. 难度：中等

若命题P：“∀x∈R，cos2x≤cos²x”，则^¬P为    ．

14. 难度：中等

函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
①函数f（x）=x²（x∈R）是单函数；
②若f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；
④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．
其中的真命题是    ．（写出所有真命题的编号）

15. 难度：中等

设函数g（x）=x²-2（x∈R），则f（x）的值域是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设A={x|x²-ax-15≥0}，B={x|x²-2ax+b＜0}，A∩B={x|5≤x＜6}，求A∪B．

17. 难度：中等

设函数
（1）当时，求f（x）的最大值．
（2）令，以其图象上任一点P（x，y）为切点的切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

已知二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），f（0）=3；方程f（x）=0有两个实根，且两实根的平方和为10．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）-2m=0在区间[0，3]内有根，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，（a为常数），若直线l与y=f（x）和y=g（x）的图象都相切，且l与y=f（x）的图象相切于定点P（1，f（1））．
（1）求直线l的方程及a的值；
（2）当k∈R时，讨论关于x的方程f（x²+1）-g（x）=k的实数解的个数．

20. 难度：中等

三个城市分别位于A，B，C三点处（如图），且km，BC=40km．今计划合建一个货运中转站，为同时方便三个城市，准备建在与B、C等距离的O点处，并修建道路OA，OB，OC．记修建的道路的总长度为ykm．
（Ⅰ）设OA=x（km），或OB=x（km），或点O到BC的距离为x（km），或∠CBO=x（rad）．请你选择用其中的某个x，将y表示为x的函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函数关系，确定货运中转站的位置，使修建的道路的总长度最短．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=+x+（a-1）lnx+15a，其中a＜0，且a≠1
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设函数g（x）= （e是自然对数的底数），是否存在a，使g（x）在[a，-a]上是减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．