2011-2012学年湖北省鄂州二中高三（上）10月段考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=1-2i，那么=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设集合M={1，2}，N={a²}，则“a=1”是“N⊆M”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

3. 难度：中等

已知非零向量、满足向量+与向量-的夹角为，那么下列结论中一定成立的是（ ）
A．=
B．||=||，
C．⊥
D．∥

4. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₉=-18，S₁₃=-52，等比数列{b_n}中，b₅=a₅，b₇=a₇，则b₁₅的值为（ ）
A．64
B．-64
C．128
D．-128

5. 难度：中等

某人为了观看2010年南非足球世界杯，从2006年起，每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2010年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（元）的总数为（ ）
A．a（1+p）⁴
B．a（1+p）⁵
C．[（1+p）⁴-（1+p）]
D．[（1+p）⁵-（1+p）]

6. 难度：中等

在函数y=f（x）的图象上有点列{x_n，y_n}，若数列{x_n}是等差数列，数列{y_n}是等比数列，则函数y=f（x）的解析式可能为（ ）
A．f（x）=2x+1
B．f（x）=4x²
C．f（x）=log₃
D．f（x）=

7. 难度：中等

一栋n层大楼，各层均可召集n个人开会，现每层指定一人到第k层开会，为使n位开会人员上下楼梯所走路程总和最短，则k应取（ ）
A．n
B．n为奇数时，k=（n+1），n为偶数时k=n或n+1
C．（n+1）
D．n为奇数时，k=（n-1），n为偶数时k=n

8. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，已知S₆=36，S_n=324，S_n-6=144，则n=（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18

9. 难度：中等

记S_n是等差数列{a_n}前n项的和，T_n是等比数列{b_n}前n项的积，设等差数列{a_n}公差d≠0，若对小于2011的正整数n，都有S_n=S_2011-n成立，则推导出a₁₀₀₆=0，设等比数列{b_n}的公比q≠1，若对于小于23的正整数n，都有T_n=T_23-n成立，则（ ）
A．b₁₁=1
B．b₁₂=1
C．b₁₃=1
D．b₁₄=1

10. 难度：中等

已知a_n=log_（n+1）（n+2），（n∈N^*），若称使乘积a₁•a₂•a₃…a_n为整数的数n为劣数，则在区间（1，2010）内所有劣数的和为（ ）
A．2026
B．2046
C．1024
D．1022

二、填空题

11. 难度：中等

命题“∃x∈R，2x²-3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为    ．

12. 难度：中等

△ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且a=c=2，，则b=    ．

13. 难度：中等

定义一种“*”运算：对于n∈N^*，满足以下运算性质：①2*2=1；②（2n+2）*2=3（2n*2）．则用含n的代数式表示2n*2为    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n} 满足：a₁=m （m 为正整数），，若a₄=7，则m所有可能的取值为    ．

15. 难度：中等

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．
请你写出一个具有“稳定区间”的函数；（只要写出一个即可）
给出下列4个函数：
①f（x）=g^x；②f（x）=x³，③④f（x）=lnx+1
其中存在“稳定区间”的函数有    ．（填上正确的序号）

三、解答题

16. 难度：中等

已知命题p：对m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥恒成立；命题q：不等式x²+ax+2＜0有解．若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．

17. 难度：中等

已知向量=（2cos²x，sinx），=（1，2cosx）．
（1）若⊥且0＜x＜π，试求x的值；
（2）设f（x）=•，试求f（x）的对称轴方程，对称中心，单调递增区间．

18. 难度：中等

已知幂函数为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数，其中a，b∈R．若函数g（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围．

19. 难度：中等

某一电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第1次播放了1条和余下的y-1条的，第2次播放了2条以及余下的，第3次播放了3条以及余下的，以后每次按此规律插播广告，在第x次播放了余下的x条（x＞1）．
（1）设第k次播放后余下a_k条，这里a=y，a_x=0，求a_k与a_k-1的递推关系式．
（2）求这家电视台这一天内播放广告的时段x与广告的条数y．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（1+m）-ma_n，其中m∈R，且m≠-1，0．
（1）若数列{a_n}满足a_nf （m）=a_n+1，数列{b_n}满足b₁=，b_n=f （b_n-1） （n∈N*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（2）若m=1，记c_a=a_n（-1），数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜4．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}：满足：a₁=3，a_n+1=，n∈N^*，记b_n=．
（I） 求证：数列{b_n}是等比数列；
（II） 若a_n≤t•4ⁿ对任意n∈N^*恒成立，求t的取值范围；
（III）证明：a₁+a₂+…a_n＞2n+．