2011-2012学年湖北省孝感市安陆一中高三（上）10月段考数学试卷（三）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₃+a₅+2a₁₀=4，则此数列的前13项的和等于（ ）
A．13
B．26
C．8
D．162

2. 难度：中等

设{a_n}是等比数列，则“a₁＜a₂＜a₃”是“数列{a_n}是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

3. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比为正数，且a₃•a₉=2a₅²，a₂=1，则a₁=（ ）
A．
B．
C．
D．2

4. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=-11，a₄+a₆=-6，则当S_n取最小值时，n等于（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

5. 难度：中等

命题p：∀x∈R，函数，则（ ）
A．p是假命题；￢p：∃x∈R，
B．p是假命题；￢p：∃x∈R，
C．p是真命题；￢p：∃x∈R，
D．p是真命题；￢p：∃x∈R，

6. 难度：中等

，为非零向量，“函数f（x）=（x+）²为偶函数”是“⊥”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）-f（x）＞0，对任意的正数a、b，若a＞b，则必有（ ）
A．af（a）＜bf（b）
B．bf（a）＜af（b）
C．af（b）＜bf（a）
D．bf（b）＜af（a）

9. 难度：中等

如图是导函数y=f′（x）的图象，则下列命题错误的是（ ）
A．导函数y=f′（x）在x=x₁处有极小值
B．导函数y=f′（x）在x=x₂处有极大值
C．函数y=f（x）在x=x₃处有极小值
D．函数y=f（x）在x=x₄处有极小值

10. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得 成立（其中C为常数），则称函数y=f（x）在D上的均值为C，现在给出下列4个函数：①y=x³②y=4sinx③y=lgx④y=2^x，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的（ ）
A．①②
B．③④
C．①③④
D．①③

二、填空题

11. 难度：中等

如果sinθ=，且θ是第二象限角，那么sin（θ+）=    ．

12. 难度：中等

△ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且a=c=2，，则b=    ．

13. 难度：中等

已知，，则=    ．

14. 难度：中等

设S_n表示等差数列{a_n}的前n项和，且S₉=18，S_n=240，若a_n-4=30（n＞9），则n=    ．

15. 难度：中等

给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f′（x）=（f′（x））′．若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在（0，）上不是凸函数的是    ．（把你认为正确的序号都填上）
①f（x）=sin x+cos x；
②f（x）=ln x-2x；
③f（x）=-x³+2x-1；
④f（x）=xe^x．

三、解答题

16. 难度：中等

已知：数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3且当n≥2n∈N₊满足S_n-1是a_n与-3的等差中项．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

17. 难度：中等

已知f （x）=sin2x-cos²-，（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f （C）=0，若=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a，b的值．

18. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（I）求角B的大小；（II）若．

19. 难度：中等

已知向量=（1，1），向量与向量夹角为，且=-1，
（1）求向量；
（2）若向量与向量=（1，0）的夹角为，向量=（cosA，2cos²），其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，试求的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax²-3x
（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=-是f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．

21. 难度：中等

已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足，且对任意x、y∈（-1，1）有．
（Ⅰ）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并加以证明．
（Ⅱ）令，，求数列{f（x_n）}的通项公式．
（Ⅲ）设T_n为的前n项和，若对n∈N^*恒成立，求m的最大值．