2011-2012学年江苏省苏北四市高三（上）元月调研数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2，3}，B={0，2，3}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

若（x+i）²是实数（i是虚数单位），则实数x的值为    ．

3. 难度：中等

一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为    ．

4. 难度：中等

根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为    ．

5. 难度：中等

已知a，b∈{1，2，3，4，5，6}，直线l₁：x-2y-1=0，l₂：ax+by-1=0，则直线l₁⊥l₂的概率为    ．

6. 难度：中等

若变量x，y满足约束条件则w=log₃（2x+y）的最大值为    ．

7. 难度：中等

已知抛物线y²=2px的准线与双曲线x²-y²=2的左准线重合，则p的值为    ．

8. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，已知，则a₇+a₈+a₉+a₁₀的值为    ．

9. 难度：中等

在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，则AC的长为    ．

10. 难度：中等

已知p：x²-4x-5＞0，q：x²-2x+1-m²＞0（m＞0），若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为    ．

11. 难度：中等

已知椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=acos（ax+θ）（a＞0）图象上两相邻的最低点与最高点之间的距离的最小值是    ．

13. 难度：中等

定义在R上的f（x），满足f（m+n²）=f（m）+2[f（n）]²，m，n∈R，且f（1）≠0，则f（2012）的值为    ．

14. 难度：中等

已知函数若存在x₁，x₂，当0≤x₁＜x₂＜2时，f（x₁）=f（x₂），则x₁f（x₂）的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知向量，求：
（1）
（2）的值．

16. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，BB₁=BC=6，D，E分别是AA₁和B₁C的中点
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求三棱锥E-BCD的体积．

17. 难度：中等

现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失．如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x （cm），高为y （cm），体积为V （cm³）
（1）求出x 与 y 的关系式；
（2）求该铁皮盒体积V的最大值．

18. 难度：中等

平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；
（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=（ax²+x）e^x，其中e是自然数的底数，a∈R．
（1）当a＜0时，解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）在[-1，1]上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）当a=0时，求整数k的所有值，使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n+1=pS_n+q（p，q为常数，n∈N^*），a₁=2，a₂=1，a₃=q-3p．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数m，n，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

本题包括（1）、（2）、（3）、（4）四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内答，
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（1）、选修4-1：几何证明选讲
如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA
（2）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
若点A（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵
（3）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
在极坐标系中，A为曲线ρ²+2ρcosθ-3=0上的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0上的动点，求AB的最小值．
（4）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知a₁，a₂…a_n都是正数，且a₁•a₂…a_n=1，求证：（2+a₁）（2+a₂）…（2+a_n）≥3ⁿ．

22. 难度：中等

如图，已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D、E、F，从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X（三点共线时，规定X=0）
（1）求；
（2）求E（X）

23. 难度：中等

如图，过抛物线C：y²=4x上一点P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（1）求y₁+y₂的值；
（2）若y₁≥0，y₂≥0，求△PAB面积的最大值．