2011-2012学年福建师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a＞b且c∈R，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a²＞b²
B．ac＞bc
C．ac²＞bc²
D．a-c＞b-c

2. 难度：中等

计算1-2sin²22.5°的结果等于（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知a₅=3，a₉=6，则a₁₃=（ ）
A．9
B．12
C．15
D．18

4. 难度：中等

下列命题中是假命题的是（ ）
①若x²+y²≠0，则x，y不全为零；  
②“若x-3＞0，则x＞0”的逆命题；
③“若m＞0，则x²+x-m=0有实根”的逆否命题；  
④“x²=9，则x=3”的否命题．
A．①
B．②
C．③
D．④

5. 难度：中等

若{a_n}为递减数列，则{a_n}的通项公式可以为（ ）
A．a_n=2n+3
B．a_n=-n²+3n+1
C．
D．a_n=（-1）ⁿ

6. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角ABC所对的边，若a=15，b=10，A=60°，则cosB的值为（ ）
A．-
B．
C．-
D．

7. 难度：中等

数列{a_n}的通项公式为，则{a_n}的前10项之和为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状一定是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形

9. 难度：中等

若x＞0，y＞0，且x+y=5，则lgx+lgy的最大值是（ ）
A．lg5
B．2-4lg2
C．
D．不存在

10. 难度：中等

设a＞0，b＞0．若的最小值为（ ）
A．8
B．4
C．1
D．

11. 难度：中等

设不等式组所表示的平面区域是Ω₁，平面区域是Ω₂与Ω₁关于直线3x-4y-9=0对称，对于Ω₁中的任意一点A与Ω₂中的任意一点B，|AB|的最小值等于（ ）
A．
B．4
C．
D．2

12. 难度：中等

数列{a_n}是递减的等差数列，{a_n}的前n项和是S_n，且S₆=S₉，有以下四个结论：
①a₈=0； 
②当n等于7或8时，S_n取最大值； 
③存在正整数k，使S_k=0；
④存在正整数m，使S_m=S_2m；
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①②③
C．②③④
D．①②③④

二、填空题

13. 难度：中等

若不等式ax²+x+2＞0的解集为R，则a的范围是    ．

14. 难度：中等

已知变量x、y满足条件，求z=2x+y的最大值    ．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=33，a_n+1-a_n=2n，则a_n=    ，的最小值为    ．

16. 难度：中等

五位同学围成一圈依次循环报数，规定①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学报出的数之和，②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手1次．已知甲同学第一个报数．当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知f（x）=cosx-cos（x+）．
（1）求函数f（x）在区间，[，]上的最小值和最大值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且f（A）=1，△ABC的面积为S=6，b=4，求a的值．

18. 难度：中等

如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD，CD，且拐弯处的转角为120°．已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2-a_n，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{S_n}的前项和．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=kx+m，数列{a_n}，{b_n}满足：当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域是[a₂，b₂]；当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域是[a₃，b₃]，…，当x∈[a_n-1，b_n-1]（n∈N，且n≥2）时，f（x）的值域是{a_n，b_n}，其中k，m为常数，a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，m=2，求a₂，b₂以及数列{a_n}与{b_n}的通项；
（2）若k=2，且数列{b_n}是等比数列，求m的值；
（3）（附加题：5分，记入总分，但总分不超过150分）若k＞0，设{a_n}与{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，求-．

21. 难度：中等

已知{a_n}为递增的等比数列，且{a₁，a₃，a₅}⊂{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）是否存在等差数列{b_n}，使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N*都成立？若存在，求出b_n；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=kx²+（k-1）x（k为常数）
（1）若k=2，解不等式f（x）＞0；
（2）若k＞0，解不等式f（x）＞0；
（3）若k＞0，且对于任意x∈[1，+∞），总有g（x）=≥1成立，求k的取值范围．