2011-2012学年湖北省黄冈中学高三（上）摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={y|y=x²-1，x∈R}，，则M∩N等于（ ）
A．
B．{，1}
C．[]
D．∅

2. 难度：中等

已知幂函数y=f（x）的图象经过点，则f（2）=（ ）
A．
B．4
C．
D．

3. 难度：中等

已知函数f（x）是可导函数，且满足，则在曲线y=f（x）上的点A（1，f（1））的切线斜率是（ ）
A．-1
B．2
C．1
D．-2

4. 难度：中等

下列说法中，正确的是（ ）
A．命题“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题是真命题
B．命题“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是“∀x∈R，x²-x≤0”
C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件

5. 难度：中等

已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），则f（-2008）+f（2009）的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

6. 难度：中等

已知f（x）=，则如图中函数的图象错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为（ ）
A．10%
B．12%
C．25%
D．40%

8. 难度：中等

函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线为：l：y=g（x）=f′（x）（x-x）+f（x），F（x）=f（x）-g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x＜b，那么（ ）


A．F′（x）=0，x=x是F（x）的极大值点
B．F′（x）=0，x=x是F（x）的极小值点
C．F′（x）≠0，x=x不是F（x）极值点
D．F′（x）≠0，x=x是F（x）极值点

9. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x）-f（x）＜0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（b）＜bf（a）
B．af（b）＞bf（a）
C．af（a）＞bf（b）
D．af（a）＜bf（b）

10. 难度：中等

若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x-2）=f（x），且x∈[-1，1]时，f（x）=1-x²，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，6]内的零点的个数为（ ）
A．13
B．8
C．9
D．10

二、填空题

11. 难度：中等

若函数h（x）=e^x+ln（x+1）-5（其中e为自然对数的底数）的零点x∈（n，n+1），n∈Z，则n的值为    ．

12. 难度：中等

设f（x）=（其中e为自然对数的底数），则f（x）dx=    ．

13. 难度：中等

对于两个非空集合M、P，定义运算：M⊕P={x|x∈M或x∈P，且x∉M∩P}．已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={y|y=x²-2x+3，x∈A}，则A⊕B=    ．

14. 难度：中等

将函数y=f（2x-1）的图象向左平移2个单位后得到曲线C，如果曲线C与函数y=4^x的图象关于y=x轴对称，则f（7）=    ．

15. 难度：中等

下列说法正确的题号为    ．
①集合A={x|x²-3x-10≤0}，B={x|a+1≤x≤2a-1}，若B⊆A，则-3≤a≤3
②函数y=f（x）与直线x=l的交点个数为0或l
③函数y=f（2-x）与函数y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称
④时，函数y=lg（x²+x+a）的值域为R；
⑤与函数关于点（1，-1）对称的函数为y=-f（2-x）．

三、解答题

16. 难度：中等

化简或求值：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．

17. 难度：中等

已知y=f（x）的定义域为R，且恒有等式2f（x）+f（-x）+2^x=0对任意的实数x成立．
（Ⅰ）试求f（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论f（x）在R上的单调性，并用单调性定义予以证明．

18. 难度：中等

已知x=1是函数的一个极值点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=2x+m有三个交点，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

20. 难度：中等

已知命题p：存在实数a使函数f（x）=x²-4ax+4a²+2在区间[-1，3]上的最小值等于2；命题q：存在实数a，使函数f（x）=log_a（2-ax）在[0，1]上是关于x的减函数．若“p∧q为假”且“p∨q为真”，试求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x（e为自然对数的底数），g（x）=ln（f（x）+a）（a为常数），g（x）是实数集R上的奇函数．
（1）求证：f（x）≥x+1（x∈R）；
（2）讨论关于x的方程：lng（x）=g（x）•（x²-2ex+m）（m∈R）的根的个数；
（3）设n∈N^*，证明：（e为自然对数的底数）．