2011-2012学年辽宁省部分重点中学高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={y|y=2^x，x＞0}，N={x|y=lg（2x-x²）}，则M∩N为（ ）
A．（1，2）
B．（1，+∞）
C．[2，+∞）
D．[1，+∞）

2. 难度：中等

已知向量=（ 2，4 ），=（a，3 ），若，则a的值为（ ）
A．6
B．-6
C．
D．

3. 难度：中等

已知i是虚数单位，则=（ ）
A．-2i
B．2i
C．-i
D．i

4. 难度：中等

把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设F₁和F₂为双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F₁，F₂，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．3

6. 难度：中等

设p：16-x²＜0，q：x²+x-6＞0，则¬q是¬p的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（ ）
A．向右平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向左平移个长度单位

8. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（ ）
A．-5
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值为（ ）
A．
B．0＜k≤12
C．k≥12
D．0＜k≤12或

10. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）-f（x）=0，当0≤x≤1时，f（x）=x²，又，若方程f（x）=g（x）恰有两解，则k的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

定义方程f（x）=f′（x）的实数根x叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=lnx，φ（x）=cosx（x∈（，π））的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是（ ）
A．α＜β＜γ
B．α＜γ＜β
C．γ＜α＜β
D．β＜α＜γ

12. 难度：中等

已知圆O的半径为2，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，设∠APO=α．那么2S_△PAB•cot2α的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

抛物线的焦点坐标是    ．

14. 难度：中等

若按照右侧程序框图输出的结果为4，则输入的x所有可能取值的和等于    ．

15. 难度：中等

棱长为1的正方体和它的外接球被一个平面所截，截面是一个圆及其内接正三角形，那么球心到截面的距离等于    ．

16. 难度：中等

设函数f（x）=x²-1，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26．{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令，求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从七年级和八年级各选取100名学同进行紧急避险常识知识竞赛．下图1和图2分别是对七年级和八年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．

（1）分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；（注：统计方法中，同一组数据用该组区间的中点值作为代表）
（2）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？

19. 难度：中等

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁=2，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求三棱锥E-AB₁F的体积．

20. 难度：中等

已知椭圆，长轴长是，离心率是．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点F₂的直线与椭圆相交于A，B两点，在x轴上是否存在定点C，使为常数？若存在，求出定点C的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数
（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当时，讨论f（x）的单调性；
（3）设g（x）=x²-2x+n．当时，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求实数n的取值范围．

22. 难度：中等

如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．
（1）求证：AG•EF=CE•GD；
（2）求证：．

四、填空题

23. 难度：中等

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角．
（I）写出直线l的参数方程是   
（II）设l与圆ρ=2相交与两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积是    ．

五、解答题

24. 难度：中等

选修4-5；不等式选讲
已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．