2010-2011学年湖北省武汉二中、龙泉中学联考高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数1+i，则复数z的实部与虚部的和是（ ）
A．-2i
B．2i
C．2
D．-2

2. 难度：中等

使|x|=x成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．x≥0
B．x²≥-
C．log₂（x+1）＞0
D．2^x＜1

3. 难度：中等

直线θ=α与ρcos（θ-α）=1的位置关系是（ ）
A．平行
B．垂直
C．相交不垂直
D．与α有关，不确定

4. 难度：中等

用反证法证明：若整系数一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c至多有一个偶数
D．假设a、b、c至多有两个偶数

5. 难度：中等

对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（ ）
A．平行
B．相交
C．垂直
D．互为异面直线

6. 难度：中等

曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积是（ ）
A．4
B．2
C．
D．3

7. 难度：中等

关于函数f（x）=（2x-x²）e^x的命题：
①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；
②f（-）是极小值，f（）是极大值；
③f（x）没有最小值，也没有最大值．
其中正确的命题是（ ）
A．①②
B．.①②③
C．.②③
D．.①③

8. 难度：中等

如图，已知点B是椭圆（a＞b＞0）的短轴位于x轴下方的端点，过B作斜率为1的直线交椭圆于点M，点P在y轴上，且PM∥x轴，•=9，若点P的坐标为（0，t），则t的取值范围是（ ）

A．0＜t＜3
B．0＜t≤3
C．
D．

9. 难度：中等

某校对文明班的评选设计了a，b，c，d，e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样S=来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出0＜c＜d＜e＜b＜a，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为（ ）
A．a
B．b
C．c
D．d

10. 难度：中等

已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a²+2b²+4c²+4d²=5则a的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．.4

二、填空题

11. 难度：中等

不论θ如何变化，方程y²-6ysinθ-2x-9cos²θ+8cosθ+9=0，都表示顶点在同一曲线上的抛物线，该曲线的方程为    ．

12. 难度：中等

已知：； 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：    =．

13. 难度：中等

=    ．

14. 难度：中等

过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则=    ．

15. 难度：中等

对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：2²=1+33²=1+3+54²=1+3+5+72³=3+53³=7+9+114³=13+15+17+19．根据上述分解规律，则5²=1+3+5+7+9，若m³（m∈N^*）的分解中最小的数是73，则m的值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

18. 难度：中等

已知适合不等式|x²-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值为3，求p的值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；
（2）当0＜a＜b时，求证．

20. 难度：中等

定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于A、B两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．

21. 难度：中等

已知函数．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且，已知a₁=4，求证：a_n≥2n+2；
（3）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由．