2011-2012学年河南省实验中学高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

计算：（ ）
A．2
B．-2
C．2i
D．-2i

2. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，M={3，4，5}，N={1，3，6}，则集合{2，7}等于（ ）
A．M∩N
B．（C∪M）∩（C∪N）
C．（C∪M）∪（C∪N）
D．M∪N

3. 难度：中等

下列函数中，在（-∞，0）上为减函数是（ ）
A．y=e^x+1
B．y=ln（-x）
C．
D．y=（x+1）²

4. 难度：中等

已知点P（sinπ，cosπ）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁＞0，5a₅=17a₉，则使其前n项和S_n取得最大值时的n值为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13

6. 难度：中等

如果函数y=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，那么实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知，tan（α+β）=-2，则tan（α-β）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若函数f（x）=log_a（x²-ax+3）（a＞0且a≠1），满足对任意的x₁．x₂，当x₁＜x₂≤时，f（x₁）-f（x₂）＞0，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，1）∪（1，3）
B．（1，3）
C．（0.1）∪（1，2）
D．（1，2）

9. 难度：中等

给出下列命题：
①y=tanx在其定义域上是增函数；
②函数的最小正周期是；
③；q：f（x）=log_tanαx在（0，+∞）内是增函数，则p是q的充分非必要条件；
④函数的奇偶性不能确定．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

10. 难度：中等

已知x＞-2，y＞0，xy+2y=4，则x+y的最小值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

11. 难度：中等

已知函数f（x）=，满足对任意的x₁≠x₂都有成立，则a的取值范围是（ ）
A．
B．（0，1）
C．
D．（0，3）

12. 难度：中等

如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁，2S₂，3S₃成等差数列，则{a_n}的公比为    ．

14. 难度：中等

若f（x）为R上的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x），对于下列命题：
①f（2）=0；
②f（x）是以4为周期的周期函数；
③f（x）的图象关于x=0对称；
④f（x+2）=f（-x）．
其中正确命题的序号为    ．

15. 难度：中等

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（4）成立，则f（2008）=    ．

16. 难度：中等

设常数a＞0，展开式中x³的系数为，则=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
（1）求tanB的值；
（2）求△ABC的面积．

18. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，AC⊥BC，PB=BC=AC，点E、F分别是PC、PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角A-EB-F的大小．

19. 难度：中等

已知口袋中有大小相同的n个白球和m个红球，且2≤n≤m，从袋中任意取出两个球．
（Ⅰ）当n=3，m=4时，求取出的两个球中至少有一个红球的概率；
（Ⅱ）设取出的两球都是红球的概率为p₁，取出的两球恰是1红1白的概率为p₂，且p₁=2p₂，求证：m=4n+1．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d在（-∞，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增在（3，+∞）上单调递减，且函数图象在（2，f（2））处的切线与直线5x+y=0垂直．
（Ⅰ）求实数a、b、c的值；
（Ⅱ）设函数f（x）=0有三个不相等的实数根，求d的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数的图象经过原点，且关于点（-1，1）成中心对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}满足a_n＞0，a₁=1，，求数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设数列{a_n}的前n项和为S_n，试判断S_n与2的大小关系，并证明你的结论．

22. 难度：中等

设数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，b₁=0且
（Ⅰ）求λ的值，使得数列{a_n+λb_n}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）令数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为S_n和S'_n，求极限的值．