2011-2012学年湖北省黄冈市武穴中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面上，若复数所对应的点在虚轴上，则实数a的值为（ ）
A．2
B．1
C．-1
D．-2

2. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，使；命题q：∀x∈R，都有x²+x+1＞0．给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧￢q”是假命题；
③命题“￢p∨q”是真命题；
④命题“￢p∨￢q”是假命题．
其中正确的是（ ）
A．②③
B．②④
C．③④
D．①②③

3. 难度：中等

函数y=sinx+sin（-x）具有性质（ ）
A．图象关于点（-，0）对称，最大值为1
B．图象关于点（-，0）对称，最大值为2
C．图象关于点（-，0）对称，最大值为2
D．图象关于直线x=-对称，最大值为1

4. 难度：中等

数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（ ）
A．0
B．8
C．3
D．11

5. 难度：中等

若上是减函数，则b的取值范围是（ ）
A．[-1，+∞）
B．（-1，+∞）
C．（-∞，-1]
D．（-∞，-1）

6. 难度：中等

某产品的成本费用x与销售额y的统计数据如下表：

成本费用x（万元）	2	3	4	5
销售额y（万元）	26	39	49	54

根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报成本费用为6万元时销售额为（ ）
A．72.0万元
B．67.7万元
C．65.5万元
D．63.6万元

7. 难度：中等

某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）
A．8
B．
C．10
D．

8. 难度：中等

设不等式组，所表示的平面区域是，平面区域关于直线3x-4y-9=0对称，对于中任意点M与A₂中任意点N，|MN|的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4

9. 难度：中等

设a∈{1，2，3，4}，b∈{2，4，8，12}，则函数f（x）=x³+ax-b在区间[1，2]上有零点的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，直角坐标平面内的正六边形ABCDEF，中心在原点边长为a，AB边平行x轴，直线l：y=kx+t（k为常数）与正六边形交于M、N两点，记△OMN的面积为S，则关于函数S=f（t）的奇偶性的判断正确的是（ ）

A．一定是奇函数
B．一定是偶函数
C．既不是奇函数，也不是偶函数
D．奇偶性与k有关

二、填空题

11. 难度：中等

已知，，且，则向量与向量的夹角是    ．

12. 难度：中等

已知α为第三象限的角，，则=   

13. 难度：中等

对于使f（x）≤M恒成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界，若a＞0，b＞0，且a+b=1，则的上确界为    ．

14. 难度：中等

已知取最大值时，a的最小值为    ．

15. 难度：中等

当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2ⁿ）．则（1）S（4）=    ．（2）S（n）=．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（I）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（II）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，求a的值．

四、填空题

17. 难度：中等

（选修4-4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．

五、解答题

18. 难度：中等

对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

分组	频数	频率
[10，15）	10	0.25
[15，20）	24	n
[20，25）	m	p
[25，30）	2	0.05
合计	M	1

（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；
（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．

19. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，
（I）求a，b的值；
（II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

在数列，其中c≠0．
（Ⅰ）求通项公式；
（Ⅱ）若对一切k∈N^*有，求c的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-ax²-bx．
（I）当a=-1时，若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，且AB的中点为C（x，0），求证：f′（x）＜0．