2011-2012学年湖南省衡阳八中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

coscos+cossin的值是（ ）
A．0
B．
C．
D．

2. 难度：中等

过曲线y=x³+x-2上一点P处的切线平行于直线y=4x+1，则点P的一个坐标是（ ）
A．（0，-2）
B．（1，1）
C．（-1，-4）
D．（1，4）

3. 难度：中等

已知向量、的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与向量+2的夹角等于（ ）
A．150°
B．90°
C．60°
D．30°

4. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

直线l过点（-1，2）且与直线2x-3y+9=0垂直，则l的方程是（ ）
A．3x+2y-1=0
B．3x+2y+7=0
C．2x-3y+5=0
D．2x-3y+8=0

6. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

7. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₂₀=S₄₀，下列结论中一定正确的是（ ）
A．S₃₀是S_n中的最大值
B．S₃₀是S_n中的最小值
C．S₃₀=0
D．S₆₀=0

8. 难度：中等

已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x³-x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

二、填空题

9. 难度：中等

复数i²（1+i）的虚部是    ．

10. 难度：中等

若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是    cm³．

11. 难度：中等

已知△ABC中，a=，b=，B=60°，那么角A等于    ．

12. 难度：中等

已知函数在（0，1）上不是单调函数，则实数a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

若变量x，y满足约束条件，则z=x²+y²+4y+1的最小值为    ．

14. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为DD₁的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A₁B₁上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是    度．

15. 难度：中等

曲线与直线y=k（x-2）+4有两个交点，则实数k的取值范围为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知在等比数列{a_n}中，a₁=1，且a₂是a₁和a₃-1的等差中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}满足，求{b_n}的前n项和S_n．

17. 难度：中等

已知，且函数，
（1）求f（x）的增区间；
（2）求f（x）在区间上的最大、最小值及相应的x值．

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点
求证：（1）AC₁∥平面B₁CD；
（2）DB₁与平面BCC₁B₁所成角的正切值．

19. 难度：中等

某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观测点A，B（假设A，B，C，D在同一水平面上），且AB=80米，当航模在C 处时，测得∠ABC=
105°和∠BAC=30°，经过20秒后，航模直线航行到D 处，测得∠BAD=90°和∠ABD=45°．请你根据以上条件求出航模的速度．（答案保留根号）

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，已知圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4 和圆C₂：（x-4）²+（y-5）²=4
（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C₁截得的弦长为2，求直线l的方程
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁和C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（2-a）lnx++2ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；
（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．