2011-2012学年北京66中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|-2＜x＜2}，B={x|x²-2x≤0}，则A∩B等于（ ）
A．（0，2）
B．（0，2]
C．[0，2）
D．[0，2]

2. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知a₁=2，a₂+a₃=13，则a₄+a₅+a₆等于（ ）
A．40
B．42
C．43
D．45

3. 难度：中等

已知平面向量、的夹角为60°，则=（，1），||=1，则|+2|═（ ）
A．2
B．
C．2
D．2

4. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足，当1≤x≤2时，f（x）=x-2，则f（6.5）=（ ）
A．4.5
B．-4.5
C．0.5
D．-0.5

5. 难度：中等

函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设函数，则函数y=f（x）（ ）
A．在区间（0，1），（1，2）内均有零点
B．在区间（0，1）内有零点，在区间（1，2）内无零点
C．在区间（0，1），（1，2）内均无零点
D．在区间（0，1）内无零点，在区间（1，2）内有零点

7. 难度：中等

已知函数，则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（ ）
A．
B．{x|x≤1}
C．
D．

8. 难度：中等

如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．
①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形
②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥
③存在点D，使CD与AB垂直并且相等
④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上
其中真命题的序号是（ ）

A．①②
B．②③
C．③
D．③④

二、填空题

9. 难度：中等

已知向量=（1，3），=（3，n），如果与共线，那么实数n的值是    ．

10. 难度：中等

已知，且α是第二象限角，则sin2α=    ．

11. 难度：中等

函数y=sinx（0≤x≤π）的图象与x轴围成图形的面积为    ．

12. 难度：中等

若曲线y=g（x）在点（l，g（l））处的切线方程为y=2x+1，则曲线f（x）=g（x）+lnx在点（l，g（l））处切线的斜率为     ，该切线方程为     ．

13. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为    ．

14. 难度：中等

考虑以下数列a_n，n∈N^*：①a_n=n²+n+1；②a_n=2n+1；③．其中满足性质“对任意正整数n，都成立”的数列有    （写出满足条件的所有序号）；若数列a_n满足上述性质，且a₁=1，a₂₀=58，则a₁₀的最小值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=cosx•（sinx+cosx）
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）设，判断函数g（x）的奇偶性，并加以证明．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}，其前n项和为．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）如果数列{b_n}满足a_n=log₂b_n，请证明数列{b_n}是等比数列，并求其前n项和．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是棱形，SA⊥平面ABCD，M，N分别为SA，CD的中点．
（1）证明：直线MN∥平面SBC；
（2）证明：平面SBD⊥平面SAC；
（3）当SA=AD，且∠ABC=60°时，求直线MN与平面ABCD所成角的大小．

18. 难度：中等

已知△ABC中，2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设向量=（cosA，cos2A），，求当取最小值时，值．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）．
（I）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（II）求证数列为等差数列
（Ⅲ）求数列{a_n}的通项公式．

20. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）证明：对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．