2011-2012学年湖北省武汉外国语学校高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线y=mx²的焦点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知向量=（1，1，0），=（-1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（ ）
A．1
B．
C．
D．

3. 难度：中等

人造地球卫星的运行轨迹是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面距离分别为、，则卫星轨迹的长轴长为（ ）
A．5R
B．4R
C．3R
D．2R

4. 难度：中等

如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点，则=（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧面BB₁C₁C内一动点，若P到直线BC与直线C₁D₁的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）
A．直线
B．圆
C．双曲线
D．抛物线

6. 难度：中等

已知正方形ABCD，则以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设F为抛物线y²=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若=0，则的值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9

8. 难度：中等

由曲线x²+y²=|x|+|y|围成的图形的面积等于（ ）
A．π+2
B．π-2
C．2π
D．4π

9. 难度：中等

如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P₁，P₂，P₃，P₄，P₅，P₆，P₇七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|+|P₆F|+|P₇F|=（ ）

A．40
B．30
C．32
D．35

10. 难度：中等

如图，已知椭圆方程为，O为原点，点M是椭圆右准线上的动点，以OM为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆交于P、Q两点，直线PQ与椭圆相交于A、B两点，则|AB|的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），则以AB，AC为边的平行四边形的面积是    ．

12. 难度：中等

过点P（3，4）的动直线与两坐标轴的交点分别为A，B，过A，B分别作两坐标轴的垂线交于点M，则点M的轨迹方程为    ．

13. 难度：中等

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若，则AB₁与C₁B所成的角的大小    ．

14. 难度：中等

点P（x，y）在函数的图象上运动，则2x-y的最大值与最小值之比为    ．

15. 难度：中等

已知圆O的半径为定长r，A是圆所在平面内一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当P在圆上运动时，点Q的轨迹可能是下列图形中的：    ．（填写所有可能图形的序号）
①点；②直线；③圆；④抛物线；⑤椭圆；⑥双曲线；⑦双曲线的一支．

三、解答题

16. 难度：中等

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时m的值．

17. 难度：中等

已知双曲线C的一条渐近线为，且与椭圆有公共焦点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线与双曲线C相交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否过原点，并说明理由．

18. 难度：中等

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=3，AA₁=5，∠BAD=90°，
∠BAA₁=∠DAA₁=60°．
（1）求AC₁的长；
（2）设直线AC₁与平面A₁DB交于点G，求证：．

19. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，
∠CDA=∠BAD=90°，，M，N分别是PD，PB的中点．
（1）求证：MQ∥平面PCB；
（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；
（3）求点A到平面MCN的距离．

20. 难度：中等

已知直线l：y=kx+b，曲线M：y=|x²-2|．
（1）若k=1，直线与曲线恰有三个公共点，求实数b的值；
（2）若b=1，直线与曲线M的交点依次为A，B，C，D四点，求的取值范围．

21. 难度：中等

动点M的坐标（x，y）在其运动过程中总满足关系式．
（1）点M的轨迹是什么曲线？请写出它的标准方程；
（2）已知定点T（t，0）（0＜t＜3），若|MT|的最小值为1，求t的值；
（3）设直线l不经过原点O，与动点M的轨迹相交于A，B两点，点G为线段AB的中点，直线OG与该轨迹相交于C，D两点，若直线AB，CD，AC，AD，DB，BC的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄，k₅，k₆，求证：k₁•k₂=k₃•k₄=k₅•k₆．