2010-2011学年北京师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合M={x|x-2＞0}，N={x|（x-3）（x-1）＜0}，则M∩N=（ ）
A．{x|2＜x＜3}
B．{x|x＜1}
C．{x|x＞3}
D．{x|1＜x＜2}

2. 难度：中等

下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）
A．y=2^|x|
B．y=x²-
C．y=2
D．y=x³

3. 难度：中等

函数f（x）=log₂（3^x+1）的值域为（ ）
A．（0，+∞）
B．[0，+∞）
C．（1，+∞）
D．[1，+∞）

4. 难度：中等

已知函数，那么在下列区间中含有函数f（x）零点的为（ ）
A．
B．
C．
D．（1，2）

5. 难度：中等

下列求导数运算正确的是（ ）
A．（x+）′=1+
B．（log₂x）′=
C．（3^x）′=3^xlog₃e
D．（x²cosx）′=-2xsin

6. 难度：中等

设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ）
A．2
B．
C．
D．-2

7. 难度：中等

给定函数①，②，③y=|x-1|，④y=2^x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

8. 难度：中等

函数f（x）=-x³-3x²+1在[a，+∞）上的最大值为1，求a的取值范围（ ）
A．[-3，+∞）
B．（-3，+∞）
C．（-3，0）
D．[-3，0]

二、填空题

9. 难度：中等

条件p：|x|＞1，条件q：x＜-2，则￢p是￢q的    条件．

10. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）是周期函数，且满足f（x-a）=-f（x）（a＞0），函数f（x）的最小正周期为    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=，则f（-1）=    ．

12. 难度：中等

函数的定义域为    ．

13. 难度：中等

函数的单调递减区间是    ．

14. 难度：中等

下列命题中：
①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；
②若f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③已知x₁，x₂是函数f（x）定义域内的两个值，且x₁＜x₂，若f（x₁）＞f（x₂），则f（x）是减函数；
④若f （x）是定义在R上的奇函数，且f （x+2）也为奇函数，则f （x）是以4为周期的周期函数．
其中正确的命题序号是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，．
（I）求f（-1）的值；
（II）求函数f（x）的值域A；
（III）设函数的定义域为集合B，若A⊆B，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

已知函数，其中实数a≠1．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性．

17. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x₁，x₂都有f=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（2x²-1）＜2．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=mx²+（m-3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，，设F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若以函数y=F（x）（0＜x≤3）图象上任意一点P（x，y）为切点的切线斜率恒成立，求实数a的最小值．