2012-2013学年江苏省苏州市常熟市高三（上）10月段考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²+x＞0”的否定是“    ．

2. 难度：中等

若A={x|（x-1）²＜2x-4}，则A∩Z的元素个数为    ．

3. 难度：中等

若命题p：“log₂x＜0”，命题q：“x＜1”，则p是q的    条件． （填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）

4. 难度：中等

设函数则=    ．

5. 难度：中等

已知a=log_0.23，b=2^-1，，则a，b，c从小到大排列是    ．（用“＜”连接）．

6. 难度：中等

已知α为第四象限的角，且=    ．

7. 难度：中等

已知函数，则函数y=f（3-x²）的定义域为    ．

8. 难度：中等

已知f（x）=2^x（x∈R）可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，则g（x）•h（x）=    ．

9. 难度：中等

设x，y∈（0，+∞），且xy-（x+y）=1，则x+y的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知角φ的终边经过点P（1，-2），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则=    ．

11. 难度：中等

若y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，则函数g（x）=f（x）-log₅|x|的零点个数为    ．

12. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f（x）+xf′（x）＞0．则不等式的解集为    ．

二、解答题

13. 难度：中等

已知集合A={x|x²-2x-3＜0}，B={x|（x-m+1）（x-m-1）≥0}．
（1）当m=0时，求A∩B；
（2）若p：x∈A，q：x∈B，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

14. 难度：中等

已知函数，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若将函数f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的最大值及单调递减区间．

15. 难度：中等

设（a＞0）：
（1）若f（x）在[1，+∞）上递增，求a的取值范围；  
（2）求f（x）在[1，4]上的最小值．

16. 难度：中等

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．
（1）将y表示成x的函数；
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

17. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）若对∀x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），试证明∃x∈（x₁，x₂），使成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件①对∀x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②对∀x∈R，都有．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．