2012-2013学年浙江省宁波市余姚三中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数y=+lgx的定义域是（ ）
A．[0，2]
B．（0，2）
C．（0，2]
D．[1，2]

2. 难度：中等

“a＜b＜0”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

在由正数组成的等比数列{a_n}中，a₁+a₂=1，a₃+a₄=4，则a₄+a₅=（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12

4. 难度：中等

已知，且关于x的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”下列四个命题，其中是“可换命题”的是（ ）
①垂直于同一平面的两直线平行；               ②垂直于同一平面的两平面平行；
③平行于同一直线的两直线平行；               ④平行于同一平面的两直线平行．
A．①②
B．①④
C．①③
D．③④

6. 难度：中等

定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的，令．给出以下四个命题：（1）若与共线，则；（2）；（3）对任意的λ∈R，有（4）．则其中所有真命题的序号是（ ）
A．（1）（2）（3）
B．（2）（3）（4）
C．（1）（3）（4）
D．（1）（2）（4）

7. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围为（ ）
A．（3，5）
B．
C．（-1，2）
D．

8. 难度：中等

已知偶函数y=f（x）对任意实数x都有f（x+1）=-f（x），且在[0，1]上单调递减，则（ ）
A．＜＜
B．＜＜
C．＜＜
D．＜＜

9. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．
D．

10. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，，则关于x的函数F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的所有零点之和为（ ）
A．2^a-1
B．2^-a-1
C．1-2^-a
D．1-2^a

二、填空题

11. 难度：中等

一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为    

12. 难度：中等

函数f（x）=a^x+log_a（x+1）在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为     ．

13. 难度：中等

设S_n为等比数列{a_n} 的前n项和，已知3S₃=a₄-2，3S₂=a₃-2，则公比q=    ．

14. 难度：中等

满足不等式x²-（a+1）x+a＜0的所有整数解之和为27，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

在边长为1的正三角形ABC中，，则的值等于    ．

16. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₁=1，a₂₀₁₀=4，函数f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₂₀₁₀），则函数f（x） 在点（0，0）处的切线方程为    ．

17. 难度：中等

已知f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）-f（x）≥0，对于任意的正数a，b，若a＜b，
①af（b）≤bf（a）
②af（b）≥bf（a）
③af（a）≤bf（b）
④af（a）≥bf（b）
其中正确的是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知
（1）求；
（2）若与平行，求k的值；
（3）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且．
（1）求证：数列{1+a_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设，求证：．

20. 难度：中等

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A-CD-M的余弦值．

21. 难度：中等

已知函数（其中ω＞0），且函数f（x）的图象的相邻两条对称轴间的距离为π．
（1）先列表再作出函数f（x）在区间[-π，π]上的图象．
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．
（3）若，求的值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=[ax²-（3+2a）x+a]•e^x+1，a≠0．
（1）若x=-1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）若不等式f′（x）＞（x²+x-a）•e^x+1对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围．
（3）记函数g（x）=f（x）+（2a+6）•e^x+1，若g（x）在区间[2，4]上不单调，求实数a的取值范围．