2012-2013学年辽宁省沈阳二中高三（上）10月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合A={x||x|＜4}，集合B={x|＞0}，则集合A∩C_RB=（ ）
A．（-4，1]
B．（4，1）
C．（0，4）
D．[1，4）

2. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₂+a₇+a₁₅=12，则a₈=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6

3. 难度：中等

某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （ ）
A．4
B．8
C．12
D．24

4. 难度：中等

设命题P：m≥，命题q：一元二次方程x²+x+m=0有实数解．则-p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

向量在向量上的投影为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数f（x）=cos2x-sin2x的单调减区间为（ ）
A．[kπ+，π+]，k∈Z
B．[kπ-，π-]，k∈Z
C．[2kπ-，2kπ-]，k∈Z
D．[kπ-，kπ+]，k∈Z

7. 难度：中等

给出以下四个命题：
①若x²≠y²，则x≠y或x≠-y；
②若2≤x＜3，则（x-2）（x-3）≤0；
③若a，b全为零，则|a|+|b|=0；
④x，y∈N，若x+y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．
那么下列说法错误的是（ ）
A．①为假命题
B．②的逆命题为假
C．③的否命题为真
D．④的逆否命题为真

8. 难度：中等

已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象如图所示．则y=f（x）的图象可由函数y=cosx的图象（纵坐标不变）（ ）

A．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位
B．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
C．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位

10. 难度：中等

已知△ABC中A＞B，给出下列不等式：
（1）sinA＞sinB
（2）cosA＜cosB
（3）sin2A＞sin2B
（4）cos2A＜cos2B
正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

11. 难度：中等

设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）
A．（1，）
B．（，+∞）
C．（1，3）
D．（3，+∞）

12. 难度：中等

如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个 小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：l，若仍用这个容器盛水，则最多可盛永的体积是原来的（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

若，则=    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，当n∈N⁺，n≥2时，a_n=，则数列{a_n}的通项公式a_n=    ．

15. 难度：中等

由曲线y=x²，y=x³围成的封闭图形面积为    ．

16. 难度：中等

如图，函数F（x）=f（x）+x²的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f（5）+f′（5）=    ．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=aln（+x）+bx³+x²，其中a、b为常数，f（1）=3，则f（-1）=    ．

18. 难度：中等

定义一：对于一个函数f（x）（x∈D），若存在两条距离为d的直线y=kx+m₁和y=kx+m₂，使得在x∈D时，kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂ 恒成立，则称函数f（x）在D内有一个宽度为d的通道．
定义二：若一个函数f（x），对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实数x，使得函数f（x）在[x，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，则称f（x）在正无穷处有永恒通道．下列函数：
①f（x）=lnx，②f（x）=，③f（x）=，④f（x）=x²，⑤f（x）=e^-x，
其中在正无穷处有永恒通道的函数的序号是    ．

三、解答题

19. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求bc的最大值．

20. 难度：中等

（1）已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′如图所示，其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，求直角梯形以BC为旋转轴旋转一周形成的几何体的表面积．
（2）定线段AB所在的直线与定平面α相交，P为直线AB外的一点，且P不在α内，若直线AP、BP与α分别交于C、D点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点．

21. 难度：中等

某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算：
（1）仓库面积S的最大允许值是多少？
（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

22. 难度：中等

已知数列{a_n}中，（n∈N₊，n≥2），且，
（1）求证：k=1；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列的前n项和．

23. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²-1．
（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最值；
（2）对于一切正数x，恒有f（x）≤k（x²-1）成立，求实数k的取值组成的集合．