2012-2013学年湖北省襄阳市襄州、枣阳、宜城、曾都一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知函数f（x）=asinx•cosx-a
（1）求函数的单调递减区间；
（2）设x∈[0，]，f（x）的最小值是-2，最大值是，求实数a，b的值．

2. 难度：中等

已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．
（Ⅰ）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？
（Ⅱ）设该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的总费用y（元）关于x的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？

3. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）在x∈[1，3]上有零点，求实数a的取值范围．

4. 难度：中等

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围；
（3）当x＞y＞e-1时，求证：．

二、选择题

5. 难度：中等

全集U=R，A={x|x（x+3）＜0}，B={x|x＜-1}，则阴影部分表示的集合为（ ）

A．{x|x＞0}
B．{x|-3＜x＜0}
C．{x|x＜-1}
D．{x|-3＜x＜-1}

6. 难度：中等

与y=|x|为同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若函数f（x）=（x-2）（x²+c）在x=2处有极值，则函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为（ ）
A．-5
B．-8
C．-10
D．-12

8. 难度：中等

当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是（ ）
A．x³＜3^x＜log₃
B．3^x＜x³＜log₃
C．log₃x＜x³＜3^x
D．log₃x＜3^x＜x³

9. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx-cosx且f'（x）=2f（x），f'（x）是f（x）的导函数，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

用数学归纳法证明时，从“k到k+1”左边需增加的代数式是（ ）
A．（k+1）²
B．k²+（k+1）²
C．2k²+（k+1）²
D．2k²+2（k+1）²

11. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

设定义在R上的函数f（x）是最小正周期2π的偶函数，f′（x）是函数f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1； 当x∈（0，π） 且x≠时，（x-）f′（x）＞0，则函数y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为（ ）
A．2
B．4
C．5
D．8

14. 难度：中等

已知函数y=f（x）是定义在R上的减函数，函数y=f（x-1）的图象关于点 （1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式 f（x²+y-1）+f（-x²+2x-1）≤0恒成立，4x²+y²的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

三、填空题

15. 难度：中等

由曲线f（x）=与x轴及直线x=m（m＞0）围成的图形面积为，则m的值为    ．

16. 难度：中等

若关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥a²+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是    ．

17. 难度：中等

下列说法：
①命题“∀x∈R，使2^x≤3”的否定是“∃x∈R，使2^x＞3”；
②函数f（x）=（m²-m-1）x^m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则m=2；
③命题“函数f（x）在x=x处有极值，则f^′（x）=0”的否命题是真命题；
④函数在区间上单调递增；
⑤“log₂x＞log₃x”是“2^x＞3^x”成立的充要条件．
其中说法正确的序号是    ．

18. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log₂x）＞的解集为    ．

19. 难度：中等

已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=    ．

20. 难度：中等

在极坐标系中，圆ρ=2cosθ的圆心到直线ρcosθ=2的距离是   

四、解答题

21. 难度：中等

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，
（1）求sinB的值；
（2）若b=4，且a=c，求△ABC的面积．

22. 难度：中等

已知实数a＞0且a≠1，命题p：y=log_a（2-ax）在区间上为减函数；命题q：方程e^x-x+a-3=0在[0，1]有解．若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．