2012-2013学年陕西省西安市长安一中高三（上）第二次质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

全集U={x∈Z|-1≤x≤3}，A={x∈Z|-1＜x＜3}，B={x∈Z|x²-x-2≤0}，则（C_UA）∩B=（ ）
A．{-1}
B．{-1，2}
C．{x|-1＜x＜2}
D．{x|-1≤x≤2}

2. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=-11，a₃+a₇=-6，则当S_n取最小值时，n等于（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6

3. 难度：中等

若，α是第三象限的角，则=（ ）
A．
B．
C．2
D．-2

4. 难度：中等

函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称；③在（-，）上是增函数．”的一个函数是（ ）
A．y=sin（）
B．y=cos（）
C．y=cos（2x+）
D．y=sin（2x-）

6. 难度：中等

已知直线x+y=a与圆x²+y²=4交于A、B两点，且||=||，其中O为原点，则实数a的值为（ ）
A．2
B．-2
C．2或-2
D．或-

7. 难度：中等

设直线x=t与函数f（x）=x²，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设双曲线的一个焦点为F；虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知{a_n}是等比数列，a₂=2，a₅=，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=（ ）
A．16（1-4^-n）
B．16（1-2^-n）
C．（1-4^-n）
D．（1-2^-n）

10. 难度：中等

若函数f（x）=x³-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-2，2）
B．[-2，2]
C．（-∞，-1）
D．（1，+∞）

11. 难度：中等

已知，则二项式的展开式中x的系数为（ ）
A．10
B．-10
C．80
D．-80

12. 难度：中等

等差数列{a_n}中，S_n是其前n项和，，则S₁₁=（ ）
A．-11
B．11
C．10
D．-10

13. 难度：中等

已知实系数一元二次方程x²+（1+a）x+a+b+1=0的两个实根为x₁，x₂，且 0＜x₁＜1，x₂＞1，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

设函数的定义域为D，若所有点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为（ ）
A．-2
B．-4
C．-8
D．不能确定

二、填空题

15. 难度：中等

圆x²+y²-2x=0上的动点P到直线x-y-3=0的最短距离为    ．

16. 难度：中等

阅读程序框图（如图所示），回答问题：
若a=5^0.6，b=0.6⁵，c=log_0.65，则输出的数是    ．

17. 难度：中等

在边长为1的正三角形ABC中，设，则=    ．

18. 难度：中等

若不等式对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是    ．

19. 难度：中等

若方程lgkx=2lg（x+1）仅有一个实根，那么k的取值范围是    ．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=sin x+tan x，项数为27的等差数列{a_n}满足a_n∈（-），且公差d≠0，若f（a₁）+f（a₂）+…f（a₂₇）=0，则当k=    时，f（a_k）=0．

三、解答题

21. 难度：中等

已知向量=（cosωx-sinωx，sinωx），=（-cosωx-sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．

22. 难度：中等

如图，在某港口A处获悉，其正东方向20海里B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°据港口10海里的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船．
（Ⅰ） 求接到救援命令时救援船据渔船的距离；
（Ⅱ）试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？（已知cos49°=）．

23. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*）．
（1）当t为何值时，数列{a_n}为等比数列？
（2）在（1）的条件下，若等差数列{b_n}的前n项和T_n有最大值，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

24. 难度：中等

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）
（1）若关于x的不等式f（x）-m≥0在[0，e-1]有实数解，求实数m的取值范围．
（2）设g（x）=f（x）-x²-1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值．
（3）证明不等式：（n∈N^*）．