2012-2013学年山东省临沂市临沭县高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

sin330°等于（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，3^x＞0，则（ ）
A．¬p：∃x∈R，3^x≤0
B．¬p：∀x∈R，3^x≤0
C．¬p：∃x∈R，3^x＜0
D．¬p：∀x∈R，3^x＜0

3. 难度：中等

设P={y|y=-x²+1，x∈R}，Q={y|y=2^x，x∈R}，则（ ）
A．P⊆Q
B．Q⊆P
C．C_RP⊆Q
D．Q⊆C_RP

4. 难度：中等

下列四个函数，其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．f（x）=x²
B．f（x）=sin
C．f（x）=-x|x|
D．

5. 难度：中等

设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，-4）且⊥，∥，则|+|=（ ）
A．
B．
C．
D．10

6. 难度：中等

已知函数f（x）的零点为（ ）
A．
B．-2，0
C．
D．0

7. 难度：中等

已知a＞b，函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象如图所示，则函数g（x）=log_a（x+b）的图象可能为
（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若曲线处的切线分别为l₁，l₂，且l₁⊥l₂，则a的值为（ ）
A．-2
B．2
C．
D．-

10. 难度：中等

在△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，D是边上的一点，且，则的值等于（ ）
A．-4
B．0
C．4
D．8

11. 难度：中等

在等差数列的值等于（ ）
A．-2011
B．-2012
C．-2010
D．-2013

12. 难度：中等

设定义域在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数，当∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；x∈（0，π）且x≠时，（x-）f′（x）＜0，则方程f（x）=cosx在[-2π，2π]上的根的个数（ ）
A．2
B．5
C．4
D．8

二、填空题

13. 难度：中等

若f（x）=（x+a）（x-4）为偶函数，则实数a=    ．

14. 难度：中等

曲线y=2x²与x轴及直线x=1所围成图形的面积为    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，若，则的值为    ．

16. 难度：中等

已知下列四个命题：
①若；
②函数是奇函数；
③“a＞b”是“2^a＞2^b”的充分不必要条件；
④在△ABC中，若sinAcosB=sinC，则△ABC中是直角三角形．
其中所有真命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数．
（I）求f（x）的值域；
（II）试画出函数f（x）在区间[-1，5]上的图象．

18. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（I）若A，B两点的纵会标分别为的值；
（II）已知点C是单位圆上的一点，且的夹角θ．

19. 难度：中等

已知向量，设函数．
（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．

20. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是不为0的常数，n∈N^*），且a₁，a₂，a₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n．

21. 难度：中等

某公司为了实现2013年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案；从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过销售利润的25%．现有三个奖励模型：，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由．（参考数据：1.003⁶⁰⁰≈6，e≈2.70828…，e⁸≈2981）

22. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+ax．
（I）若对一切x＞0，f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；
（II）在函数f（x）的图象上取定两点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x）₂）（x₁＜x₂），记直线AB的斜率为k，证明：存在x∈（x₁，x₂），使f′（x）=k成立．