2012-2013学年江苏省淮安市高三（上）第一次调查测试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

集合A={-1，0，1}，B={x|x=m²+1，m∈R}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

若复数z满足，其中i是虚数单位，则|z|=    ．

3. 难度：中等

某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，则抽取的动物类食品种数是    ．

4. 难度：中等

已知某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是    ．

5. 难度：中等

如图，是一个算法的伪代码，则输出的结果是    ．

6. 难度：中等

已知点P在圆x²+y²=1上运动，则P到直线3x+4y+15=0的距离的最小值为    ．

7. 难度：中等

过点（-1，0）与函数f（x）=e^x（e是自然对数的底数）图象相切的直线方程是    ．

8. 难度：中等

连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）两次，则出现向上的点数和大于9的概率是    ．

9. 难度：中等

如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA₁=8．若AA₁B₁B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A₁C₁，B₁C₁的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为    ．

10. 难度：中等

已知，若，则sin（α-β）的值为    ．

11. 难度：中等

若数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，则当时，数列{b_n}也是等比数列；类比上述性质，若数列{c_n}是等差数列，则当d_n=    时，数列{d_n}也是等差数列．

12. 难度：中等

已知双曲线，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B，F分别是双曲线的左顶点和左焦点．若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值为    ．

13. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若1≤a₅≤4，2≤a₆≤3，则S₆的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=||x-1|-1|，若关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有四个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁x₂x₃x₄的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若向量，，且∥．
（1）求角A的大小；
（2）求函数的值域．

16. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，BC=BB₁，D为AB的中点．
（1）求证：BC₁⊥平面AB₁C；
（2）求证：BC₁∥平面A₁CD．

17. 难度：中等

小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25-x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．
（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入-总支出）

18. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率，一条准线方程为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设G，H为椭圆上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH．
①当直线OG的倾斜角为60°时，求△GOH的面积；
②是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，数列的前n项和为T_n，且，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n}是等比数列，并写出通项公式；
（2）若对n∈N^*恒成立，求λ的最小值；
（3）若成等差数列，求正整数x，y的值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-x，．
（1）求h（x）的最大值；
（2）若关于x的不等式xf（x）≥-2x²+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）-x³+2ex²-bx=0恰有一解，其中e是自然对数的底数，求实数b的值．

21. 难度：中等

【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，已知AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的 垂直平分线，若AB=6，CD=2，求线段AC的长度．
B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵M=的一个特征值是3，求直线x-2y-3=0在M作用下的新直线方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是（α是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1的解集为R，求正实数a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，在正四棱锥P-ABCD中，已知，点M为PA中点，求直线BM与平面PAD所成角的正弦值．

23. 难度：中等

某商场在节日期间搞有奖促销活动，凡购买一定数额的商品，就可以摇奖一次．摇奖办法是在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字1～9的九个小球，一次摇奖将摇出三个小球，规定：摇出三个小球号码是“三连号”（如1、2、3）的获一等奖，奖1000元购物券；若三个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖，奖500元购物券；若三个小球号码中有一个是“8”的获三等奖，奖200元购物券；其他情形则获参与奖，奖50元购物券．所有获奖等第均以最高奖项兑现，且不重复兑奖．记X表示一次摇奖获得的购物券金额．
（1）求摇奖一次获得一等奖的概率；
（2）求X的概率分布列和数学期望．