2012-2013学年河南省中原名校高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若i是虚数单位，复数，则在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知a是第二象限角，，则cosα=（ ）
A．
B．-
C．
D．-

3. 难度：中等

已知等比数列{a_n}，若a₁＞0，a_n＞a_n+1，且2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，则数列的公比q=（ ）
A．
B．3
C．
D．2

4. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的取值范围是（ ）
A．[0，4]
B．[0，7]
C．
D．[，7]

5. 难度：中等

在相距4千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB=60°，∠CBA=75°，则B，C两点之间的距离是多少千米．（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若函数 为奇函数，则a=（ ）
A．
B．
C．
D．1

7. 难度：中等

已知函数，则f（x）在区间上的最大值M和最小值m分别为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a

10. 难度：中等

已知向量，设与同向的单位向量为，向量与向量的夹角为θ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

设f（x）=x³（x∈R），若时，f+f（2-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，2）
B．（-∞，0）
C．（-∞，1）
D．（-∞，2）

12. 难度：中等

已知存在正数a，b，c满足，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

设α为锐角，若，则=    ．

14. 难度：中等

正三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=，AB=BC=CA=，则其外接球的表面积为    ．

15. 难度：中等

在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，点M，N分别是BC，CD边上的动点，且，则的取范围是    ．

16. 难度：中等

已知a_n=3n，对∀m∈N₊，将数列{a_n}中不大于3^2m的项的个数记为{b_m}，求数列{b_m}的前m项和S_m=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₅=35，a₅和a₇的等差中项为13．
（1）求a_n；
（2）令，求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2bcosA=acosC+ccosA
（1）求A．
（2）若b=2，c=l，G为△ABC的重心，求AG的长．

19. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C_lD₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M为BB₁上一点，N为CC₁上一点
（1）求三棱锥A₁-AMN的体积．
（2）当M是BB₁的中点时，求证D₁M⊥平面MAC．

20. 难度：中等

设函数的所有正的极大值点从小到大排成的数列为{x_n}
（1）求数列{x_n}的通项公式．
（2）设{x_n}的前n项和为S_n，求tanS_n．

21. 难度：中等

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3）千元．设该容器的建造费用为y千元．
（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．

22. 难度：中等

函数是常数），曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=1．
（1）求m，n．
（2）求f（x）的单调区间．
（3）设F（x）=ex•f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明x＞0时，恒成立．