2012-2013学年广西桂林十八中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数=（ ）
A．1+2i
B．1+i
C．1-2i
D．1-i

2. 难度：中等

若向量，向量，则=（ ）
A．（-2，-4）
B．（3，4）
C．（6，10）
D．（-6，-10）

3. 难度：中等

已知圆C：x²+y²-4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（ ）
A．l与C相交
B．l与C相切
C．l与C相离
D．以上三个选项均有可能

4. 难度：中等

==（ ）
A．
B．
C．1
D．0

5. 难度：中等

下列不等式一定成立的是（ ）
A．lg（x²+）＞lgx（x＞0）
B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）
C．x²+1≥2|x|（x∈R）
D．（x∈R）

6. 难度：中等

设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（ ）
A．12
B．11
C．3
D．-1

8. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1-a_n=2n，则a₁₀=（ ）
A．111
B．73
C．89
D．91

9. 难度：中等

定义在R上的函数y=f（x），满足f（3-x）=f（x），f′（x）＜0，若x₁＜x₂，且x₁+x₂＞3则有（ ）
A．f（x₁）＜f（x₂）
B．f（x₁）＞f（x₂）
C．f（x₁）=f（x₂）
D．不确定

10. 难度：中等

过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于点P，F₂为右焦点，若∠F₁PF₂=60°，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．πa²
B．
C．
D．C₁

12. 难度：中等

从集合U={a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
（1）∅，U都要选出；
（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或B⊆A，
则不同的选法种数是（ ）
A．40
B．36
C．38
D．52

二、填空题

13. 难度：中等

函数f（x）=的定义域为    ．

14. 难度：中等

在的二项展开式中，常数项等于    ．

15. 难度：中等

函数y=x³-x+1在点（1，1）处的切线方程为    ．

16. 难度：中等

如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，b=2，求△ABC的面积S．

18. 难度：中等

某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师父加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为．
（Ⅰ）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；
（Ⅱ）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，求ξ的分布列与期望Eξ．

19. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，底面△ABC是正三角形，∠APB=90°，∠PAB=60°，平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小．

20. 难度：中等

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁=3，设数列的前项和为S_n，且成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及S_n；
（II）求．

21. 难度：中等

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）在抛物线C上是否存在点P，使得过点P的直线交C于另一点Q，满足PF⊥QF，且PQ与C在点P处的切线垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1+x²）+ax（a＜1）．
（Ⅰ） 讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ） 证明：（n∈N^*）．