2012-2013学年北京市十一学校高三（上）周六数学试卷3（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

i是虚数单位，i+2i²+3i³+…+8i⁸=    ．（用a+bi的形式表示，a，b∈R）

2. 难度：中等

在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是    ．

3. 难度：中等

已知，，则在上的投影等于    ．

4. 难度：中等

如图，是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行，第10个数为   

二、解答题

5. 难度：中等

已知向量．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=1，c=，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积．

6. 难度：中等

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船．
（Ⅰ）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；
（Ⅱ）设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与成θ角，求f（x）=sin²θsinx+cos²θcosx（x∈R）的值域．

7. 难度：中等

已知数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，并且S_n+1=4a_n+2，a₁=1．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求证{b_n}是等比数列
（2）设，求证{C_n}是等差数列
（3）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式

8. 难度：中等

f（x）是定义在（-∞，3]上的减函数，不等式f（a²-sinx）≤f（a+1+cos²x）对一切x∈R均成立，求实数a的取值范围．

9. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

10. 难度：中等

定义：两个连续函数（图象不间断）f（x），g（x）在区间[a，b]上都有意义，我们称函数|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上的“绝对和”．
（1）试求函数f（x）=x²与g（x）=x（x+2）（x-4）在闭区间[-2，2]上的“绝对和”．
（2）设h_m（x）=-4x+m及f（x）=x²都是定义在闭区间[1，3]上，记h_m（x）与f（x）的“绝对和”为D_m，如果D（m）的最小值是D（m），则称f（x）可用“替代”，试求m的值，使f（x）可用“替代”．

三、选择题

11. 难度：中等

集合的元素个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个

12. 难度：中等

“lnx＞1”是“x＞1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

13. 难度：中等

若a，4，3a为等差数列的连续三项，则a+a¹+a²+…+a⁹的值为（ ）
A．2047
B．1062
C．1023
D．531

14. 难度：中等

设{a_n}是等比数列，则“a₁＜a₂＜a₃”是“数列{a_n}是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

15. 难度：中等

已知函数的图象如图所示，则其函数解析式可能是（ ）

A．f（x）=x²+ln|x|
B．f（x）=x²-ln|x|
C．f（x）=x+ln|x|
D．f（x）=x-ln|x|

16. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁=-2012，其前n项的和为S_n．若，则S₂₀₁₂=（ ）
A．-2007
B．-2012
C．2007
D．2008

17. 难度：中等

数列1，，，…，的前n项和为（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

已知整数以按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是（ ）
A．（10，1）
B．（2，10）
C．（5，7）
D．（7，5）

四、填空题

19. 难度：中等

若函数f（x）=cos（x+θ）在时取得最大值，则sin2θ等于    ．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，，则S₂₀₁₀等于    ．