2012-2013学年广东省惠州四中高三（上）周五考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|-2＜x＜2}，B={x|x²-2x≤0}，则A∩B等于（ ）
A．（0，2）
B．（0，2]
C．[0，2）
D．[0，2]

2. 难度：中等

复数z₁=3+i，z₂=1-i则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

如图是2010年我校主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和中位数分别为（ ）

A．84，84
B．84，86
C．85，84
D．85，86

4. 难度：中等

已知椭圆的方程为，则此椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，x²≥0，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．（¬p）∨q
B．p∧q
C．（¬p）∧（¬q）
D．（¬p）∨（¬q）

6. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x的反函数为f^-1（x），则f^-1（x）＜0的解集是（ ）
A．（-∞，1）
B．（0，1）
C．（1，2）
D．（-∞，0）

7. 难度：中等

集合A={x|（x+1）（x-2）＜0}，B={x|（x+2）（x-a）≤0}，若A∩B=A，则a的取值范围是（ ）
A．a＜-1
B．a＞2
C．a≥2
D．-1＜a＜2

8. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx+3a+b是定义域为[a-1，2a]的偶函数，a+b的值是（ ）
A．0
B．
C．1
D．-1

9. 难度：中等

设实数x、y满足约束条件，则3x+2y的最大值是（ ）
A．6
B．5
C．
D．0

10. 难度：中等

如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时．根据这个函数图象，提出关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．
其中正确信息的序号是（ ）

A．①②③
B．①③
C．②③
D．①②

二、填空题

11. 难度：中等

已知幂函数y=f（x）的图象过点，则这个函数解析式为     ．

12. 难度：中等

已知函数，则f（4）=    ，f（2+log₂3）=    ．

13. 难度：中等

阅读如图的流程图，若输入的a，b，c分别是16，32，64，则输出a、b、c后，a+b-c的值是    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的直角坐标方程是    ．

15. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点．过P作⊙O的切线，切点为C，PC=2，若∠CAP=30°，则⊙O的直径AB=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知，
（1）若，求tan x；
（2）若，求f（x）的最大值．

17. 难度：中等

某校高三的某次数学测试中，对其中100名学生的成绩进行分析，按成绩分组，得到的频率分布表如下：

组号	分组	频数	频率
第1组	[90，100）	15	①
第2组	[100，110）	②	0.35
第3组	[110，120）	20	0.20
第4组	[120，130）	20	0.20
第5组	[130，140）	10	0.10
合计		100	1.00

（1）求出频率分布表中①、②位置相应的数据；
（2）为了选拔出最优秀的学生参加即将举行的数学竞赛，学校决定在成绩较高的第3、4、5组中分层抽样取5名学生，则第4、5组每组各抽取多少名学生？
（3）为了了解学生的学习情况，学校又在这5名学生当中随机抽取2名进行访谈，求第4组中至少有一名学生被抽到的概率是多少？

18. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，
（1）求证：AD∥面D₁BC；
（2）证明：AC⊥BD₁；
（3）求三棱锥D₁-ABC的体积．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x），（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数h（x）=f（x）+g（x）的定义域；
（2）判断函数h（x）的奇偶，并说明理由．

20. 难度：中等

如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．
（1）求函数f（t）的解析式；
（2）画出y=f（t）的函数图象，并求y=f（t）的值域．
（注：画图时标明关键点的坐标．）

21. 难度：中等

椭圆C：的两个焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于A，B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．