2011-2012学年湖南师大附中高三第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i为虚数单位，a为实数，复数z=（1-2i）（a+i）在复平面内对应的点为M，则“”是“点M在第四象限”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

函数f（x）=sinx在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=-1，f（b）=1，则=（ ）
A．0
B．
C．-1
D．1

3. 难度：中等

已知数列{a_n}是首项为a₁的等比数列，则能保证4a₁，a₅，-2a₃成等差数列的公比q的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

5名学生与两名教师站成一排照相，两名教师之间恰好有两名学生的不同站法有（ ）种．
A．120
B．240
C．480
D．960

5. 难度：中等

设实数x，y满足条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．4

6. 难度：中等

函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2-x），且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．c＜b＜a
D．b＜c＜a

7. 难度：中等

已知F是椭圆（a＞0，b＞0）的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆x²+y²=b²相切，当直线PF的倾斜角为，则此椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知图（1）上一个边长为1的正方形；图（2）是将图（1）的每一条边三等分后，以中间一段为边向外作小正三角形，并去掉每边的中间一段所得；图（3）是将图（2）的每一条边三等分后，以中间一段为边向外作小正三角形，并去掉每边的中间一段所得；…；那么，第n个图形的周长是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

设a，b，c为正数，且a+b+4c=1，则的最大值是    ．

10. 难度：中等

如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为    ．

11. 难度：中等

在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos²θ=4sinθ（ρ≥0），直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与抛物线C的两交点为A、B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|+|BF|=    ．

12. 难度：中等

阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y值为，则输入的实数x值为    ．

13. 难度：中等

直线ax+by+c=0与圆x²+y²=9相交于两点M、N，若c²=a²+b²，则（O为坐标原点）等于    ．

14. 难度：中等

随机抽查某中学高三年级100名学生的视力情况，得其频率分布直方图如图所示．已知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生人数为    人．

15. 难度：中等

给出如下定理：“若Rt△ABC的斜边AB上的高为h，则有 ．”在四面体P-ABC中，若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，类比上述定理，得到的正确结论是    ．

16. 难度：中等

把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a_n}，若a_n=2011，则n=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，M是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，，四边形OMQP的面积为S，函数．
（1）求函数f（x）的表达式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若，求c的值．

18. 难度：中等

某学生买了一本数学练习《小题狂做》，每次练习中有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确．评分标准是“每题仅选一个选项，选对得5分，不选或选错得零分”．假设该生确定能做对前5题，第6-7题每题答对可能性均为p，第8题完全不能理解题意，只能随意猜测，若该生做完了8道题得分不少于35分的概率是．
（1）求p的值；
（2）该生要想每次选择题的平均得分不少于35，是否还应继续努力以提高正确率？

19. 难度：中等

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BE∥CF，BE＜CF，∠BCF=，EF=2．
（I）求证：DF∥平面ABE；
（II）设=λ，问：当λ取何值时，二面角D-EF-C的大小为．

20. 难度：中等

为倡导低碳生活，某节能产品生产厂家拟举行消费者购买产品获补贴的优惠活动，若厂家投放A、B两种型号产品的价值分别为a、b万元，则消费者购买产品获得相应的补贴分别为万元（m＞0且为常数）．已知厂家把总价值为10万元的A、B两种型号的产品投放到市场，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元．（精确到0.1，参考数据：ln4=1.4）
（1）设投放B型产品的金额为x万元，请你将这次活动中消费者得到的总补贴表示为x的函数，并求其定义域；
（2）当时，当投放B型产品的金额为多少万元时，消费者得到的总补贴最多，并求出最大值．

21. 难度：中等

已知动圆P与两圆（x+2）²+y²=2，（x-2）²+y²=2中的一个内切，另一个外切．
（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；
（2）过（2，0）作直线l交曲线E于A、B两点，使得，求直线l的方程；
（3）若从动点P向圆C：x²+（y-4）²=1作两条切线，切点为A、B，设|PC|=t，试用t表示，并求的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+ln（x-a）（a∈R）．
（1）若f（x）有两个不同的极值点，求a的取值范围；
（2）当a≤-2时，g（a）表示函数f（x）在[-1，0]上的最大值，求g（a）的表达式；
（3）求证：．