2012-2013学年湖北省武汉市高三（上）11月调考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z满足i•z=1-2i，则z=（ ）
A．2-i
B．-2-i
C．1+2i
D．1-2i

2. 难度：中等

“m＜1”是“函数f（x）=x²+2x+m有零点”的（ ）
A．充要条件
B．必要非充分条件
C．充分非必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

的展开式中常数项为（ ）
A．
B．
C．
D．105

4. 难度：中等

若tanθ+=4，则sin2θ=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（ ）

A．16
B．8
C．4
D．2

6. 难度：中等

如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌车，在A地的销售利润（单位：万元）是y₁=4.1x-0.1x²，在B地的销售利润（单位：万元）是y₂=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售16辆这种品牌车，则能获得的最大利润是（ ）
A．10.5万元
B．11万元
C．43万元
D．43.025万元

8. 难度：中等

已知有相同两焦点F₁、F₂的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则△F₁PF₂的形状是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．随m，n变化而变化

9. 难度：中等

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是A₁D₁的中点，Q是A₁B₁上的任意一点，E、F是CD上的任意两点，且EF的长为定值．现有如下结论：
①异面直线PQ与EF所成的角是定值；
②点P到平面QEF的距离是定值；
③直线PQ与平面PEF所成的角是定值；
④三棱锥P-QEF的体积是定值；
⑤二面角P-EF-Q的大小是定值．
其中正确结论的个数是（ ）

A．0
B．1
C．2
D．3

10. 难度：中等

设函数f（x）=，g（x）=ax²+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则下列判断正确的是（ ）
A．当a＜0时，x₁+x₂＜0，y₁+y₂＞0
B．当a＜0时，x₁+x₂＞0，y₁+y₂＜0
C．当a＞0时，x₁+x₂＜0，y₁+y₂＜0
D．当a＞0时，x₁+x₂＞0，y₁+y₂＞0

二、填空题

11. 难度：中等

在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=    ．

12. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是    ．

13. 难度：中等

已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则
（Ⅰ）的值为    ；
（Ⅱ）的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知不等式组表示的平面区域为Ω，其中k≥0，则当Ω的面积最小时的k为    ．

15. 难度：中等

在如图所示的数表中，第i行第j列的数记为a_i，j，且满足a_1，j=2^j-1，a_i，1=i，a_i+1，j+1=a_i，j+a_i+1，j（i，j∈N^*）；又记第3行的数3，5，8，13，22，39，…为数列{b_n}．则
（1）此数表中的第6行第3列的数为    ；
（2）数列{b_n}的通项公式为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设，则，求α的值．

17. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₁=3，前n项和为S_n，等比数列{b_n}各项均为正数，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=．
（1）求a_n与b_n；
（2）证明：≤++…+＜．

18. 难度：中等

某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求图中x的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．

19. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A'B'C'，∠BAC=90°，AB=AC=λAA'，点M，N分别为A'B和B'C'的中点．
（I）证明：MN∥平面A'ACC'；
（II）若二面角A'-MN-C为直二面角，求λ的值．

20. 难度：中等

已知椭圆E：的一个交点为，而且过点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A₁，A₂，P是椭圆上异于A₁，A₂的任一点，直线PA₁，PA₂分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（a+）lnx+-x（a＞1）．
（l）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；
（2）当a∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f （x₂ ）），使得曲线y=f（x）在点P，Q处的切线互相平行，求证：x₁+x₂＞．