2011-2012学年河南省新乡市卫辉一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=1-i，则=（ ）
A．2i
B．-2i
C．2
D．-2

2. 难度：中等

已知集合M={x|x²-1≤0}，N={x|≤0}，则下列关系中正确的是（ ）
A．M=N
B．M⊊N
C．M⊋N
D．M∩N=∅

3. 难度：中等

2011年河南省中小学教师全员进行了远程研修，为了调查中小学教师的年龄结构，随机抽取调查了100名教师的年龄，得到如图所[示的频率分布直方图．则年龄在[40，45）岁的教师的人数为（ ）

A．5
B．10
C．20
D．30

4. 难度：中等

已知α为锐角，sin（α+）=，则tan（）=（ ）
A．-3
B．3
C．
D．

5. 难度：中等

“1＜a＜2”是“对任意的正数x，都有2x≥1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

由曲线y=x²，y=x³围成的封闭图形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，前n项和为S_n，且S₂₀₁₁=-2011，a₁₀₀₇=3，则S₂₀₁₂等于（ ）
A．2012
B．-2012
C．1006
D．-1006

8. 难度：中等

随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm）后获得身高数据的茎叶图如图甲所示，在这20人中，记身高在[150，160），[160，170），[170，180），[180，190]内的人数依次为A₁，A₂，A₃，A₄，图乙是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法流程图，则下列说法正确的是（ ）
A．由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是甲班，图乙输出的S的值为18
B．由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是乙班，图乙输出的S的值为16
C．由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是乙班，图乙输出的S的值为18
D．由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是甲班，图乙输出的S的值为16

9. 难度：中等

已知函数f（x）=asinx-bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R）在处取得最小值，则函数是（ ）
A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称
B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称
D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

10. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，且目标函数z=ax+y仅在点（2，1）处取得最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，5）
B．（-2，1）
C．（-1，1）
D．（-1，2）

11. 难度：中等

已知函数，若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，1]
B．（0，1）
C．[0，+∞）
D．（-∞，1）

12. 难度：中等

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+x²，若存在正数a，b，使得当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[]，则a+b=（ ）
A．1
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

在（3）¹¹的展开式中任取一项，则所取项为有理项的概率P=    ．

14. 难度：中等

已知两单位向量，的夹角为60°，则向量+与-2的夹角为    ．

15. 难度：中等

在送医下乡活动中，某医院安排2名男医生和2名女医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名，且男医生不安排在同一乡医院工作，则不同的安排方法总数为    ．（用数字作答）

16. 难度：中等

观察下列等式：，
，
，
…
由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N^*，=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

解不等式：ax²-2（a+1）x+4＞0．

18. 难度：中等

若向量，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当的最大值为1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

19. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的前n项和S_n，求S_n+1-4S_n的最大值．

20. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的正弦值．

21. 难度：中等

如图，已知椭圆C：+y²=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且•=0．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

22. 难度：中等

设x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（2）若，求b的最大值．
（3）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，g（x）=f'（x）-a（x-x₁），求证：．