2012-2013学年宁夏银川一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

cos300°的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m-1}且B≠∅，若A∪B=A，则（ ）
A．-3≤m≤4
B．-3＜m＜4
C．2＜m＜4
D．2＜m≤4

3. 难度：中等

已知，则等于（ ）
A．
B．7
C．
D．-7

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₂=7，a₄=15，则前10项的和S₁₀=（ ）
A．100
B．210
C．380
D．400

5. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，则的最小值是（ ）
A．2
B．
C．4
D．5

6. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，，那么的值是（ ）
A．
B．
C．
D．9

7. 难度：中等

设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）
A．≥4
B．a³+b³≥2ab²
C．a²+b²+2≥2a+2b
D．≥

8. 难度：中等

凸多边形各内角度数成等差数列，最小角为120°，公差为5°，则边数n等于（ ）
A．16
B．9
C．16或9
D．12

9. 难度：中等

已知函数（a为常数）的定义域为，f（x）的最大值为6，则a等于（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

10. 难度：中等

已知向量，，若向量，则x=（ ）
A．-
B．
C．-2
D．2

11. 难度：中等

不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-∞，-1]∪[4，+∞）
B．（-∞，-2]∪[5，+∞）
C．[1，2]
D．（-∞，1]∪[2，+∞）

12. 难度：中等

已知，点C在∠AOC=30°的边AC上，设，则等于
（ ）
A．
B．3
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，且满足a+b=3，则的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知，，与的夹角为45°，要使与垂直，则λ=    ．

15. 难度：中等

已知函数若函数g（x）=f（x）-m有3个零点，则实数m的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-2，+∞），部分对应值如下左表，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是    ．

x	-2		4
f（x）	1	-1	1

三、解答题

17. 难度：中等

A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若，，且．
（Ⅰ） 求角A；
（Ⅱ） 若，三角形面积，求b+c的值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．
（1）若函数y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）表达式；
（2）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范围．

19. 难度：中等

数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足．
（Ⅰ）求证数列为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{b_n}的前n项和T_n，并求使对所有的n∈N^*都成立的最大正整数m的值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）证明：．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+lnx．
（I）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x³图象的下方；
（II）求证：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

22. 难度：中等

在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．
（1）求证：；
（2）若AC=3，求AP•AD的值．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁：x²+y²=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）将曲线C₁上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C₂，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C₂的参数方程；
（2）在曲线C₂上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．

24. 难度：中等

已知a和b是任意非零实数．
（1）求的最小值．
（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，求实数x的取值范围．