2012-2013学年江苏省常州高级中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若复数）是纯虚数，则实数a的值为    ．

2. 难度：中等

集合A={0，2，a}，B={1，a²}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为    ．

3. 难度：中等

经过点（2，-1），且与直线2x-3y-1=0垂直的直线方程是    ．

4. 难度：中等

平面直接坐标系xoy中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=-x上，则sinα=    ．

5. 难度：中等

某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为    ．

6. 难度：中等

右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s=    ．

7. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=    ．

8. 难度：中等

设向量，，，的夹角为120°，则实数k=    ．

9. 难度：中等

过点的直线l与圆C：（x-1）²+y²=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为     ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=，若f（3-2a²）＞f（a），则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

设函数f（x）=（x＞0），观察：f₁（x）=f（x）=，f₂（x）=f（f₁（x））=，f₃（x）=f（f₂（x））=，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N^*且n≥2时，f_n（x）=    ．

12. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xoy中，A₁，A₂，B₁，B₂为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A₁B₂与直线B₁F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=，若关于的方程满足f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根，且α，β分别是三个根中最小根和最大根，则的值为    ．

14. 难度：中等

已知f（x）=cosx，g（x）=sinx，记S_n=2-，T_m=S₁+S₂+…+S_m，若T_m＜11，则m的最大值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．

16. 难度：中等

已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．
（1）求⊙C的方程；
（2）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值．

17. 难度：中等

如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）
（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．

18. 难度：中等

如图，椭圆C：+=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B，D，四边形DAMB是矩形（O为坐标原点），点E，P分别是线段OA，MA的中点．
（1）求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．
（2）过点B的直线l₁，l₂与椭圆C分别交于R，S（不同于B点），且它们的斜率k₁，k₂满足k₁•k₂=-求证：直线SR过定点，并求出此定点的坐标．

19. 难度：中等

设数列{a_n}，对任意n∈N^*都有（kn+b）（a₁+a_n）+p=2（a₁+a₂…+a_n），（其中k、b、p是常数）．
（1）当k=0，b=3，p=-4时，求a₁+a₂+a₃+…+a_n；
（2）当k=1，b=0，p=0时，若a₃=3，a₉=15，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{a_n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S_n是数列{a_n}的前n项和，a₂-a₁=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a_n}，使得对任意n∈N^*，都有S_n≠0，且．若存在，求数列{a_n}的首项a₁的所有取值；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知函数（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x，y），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．
试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．