2012-2013学年江苏省泰州市姜堰市姜淮高考复读学校高三（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={1，3}，B={1，2，m}，若A⊆B，则实数m=    ．

2. 难度：中等

若（1-2i）i=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则ab=    ．

3. 难度：中等

某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=    ．

4. 难度：中等

在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是    ．

5. 难度：中等

已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为    ．

6. 难度：中等

已知，则cosα=    ．

7. 难度：中等

已知一个正六棱锥的高为10cm，底面边长为6cm，则这个正六棱锥的体积为    cm³．

8. 难度：中等

已知各项均为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₃=18，S₃=26，则{a_n}的公比q=    ．

9. 难度：中等

已知实数x，y满足，则z=2x-y的最大值为    ．

10. 难度：中等

在曲线y=x³-3x+1的所有切线中，斜率最小的切线的方程为    ．

11. 难度：中等

已知直线y=a与函数f（x）=2^x及函数g（x）=3•2^x的图象分别相交于A，B两点，则A，B两点之间的距离为    ．

12. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²-4x+c+1的值域是[1，+∞），则+的最小值是    ．

13. 难度：中等

如图，A，B是半径为1的圆O上两点，且∠AOB=．若点C是圆O上任意一点，则的取值范围为    ．

14. 难度：中等

已知a，b，c是正实数，且abc+a+c=b，设，则p的最大值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC-bcosC=ccosB-ccosA，且C=120°．
（1）求角A；
（2）若a=2，求c．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，P点在平面ABCD内的射影为A，且PA=AB=2，E为PD中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）证明：平面PCD⊥平面PAD．

17. 难度：中等

在一个矩形体育馆的一角MAN内（如图所示），用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域，已知B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点．
（1）若BC=a=10，求储存区域三角形ABC面积的最大值；
（2）若AB=AC=10，在折线MBCN内选一点D，使DB+DC=a=20，求储存区域四边形DBAC面积的最大值．

18. 难度：中等

已知椭圆E：的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，且圆C：过A，F₂两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当β-α=时，证明：点P在一定圆上．

19. 难度：中等

已知函数．
（1）讨论函数y=f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=x²-2bx+4-ln2，当a=1时，若对任意的x₁，x₂∈[1，e]（e是自然对数的底数），f（x₁）≥g（x₂），求实数b的取值范围．

20. 难度：中等

设，其中c，c₁，c₂，…，c_k为非零常数，数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，对于任意的正整数n，a_n+S_n=f_k（n）．
（1）若k=0，求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k，使得数列{a_n}能成等差数列．

21. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．

22. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC的中点，E是线段D₁O上一点，且D₁E=λEO．
（1）若λ=1，求异面直线DE与CD₁所成角的余弦值；
（2）若平面CDE⊥平面CD₁O，求λ的值．

23. 难度：中等

[必做题]
已知整数n≥4，集合M={1，2，3，…n}的所有3个元素的子集记为A₁，A₂，…，A_C．
（1）当n=5时，求集合A₁，A₂，…，A_C中所有元素之和；
（2）设m_i为A_i中的最小元素，设p_n=m₁+m₂+…+m_c，试求p_n（用n表示）．