2012-2013学年湖南省长沙市浏阳一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|sinx＜0，0≤x≤2π}，B={x|cosx＞0，0≤x≤2π}，则A∩B=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

复数Z为复数1+i的共轭复数，则（1+i）Z=（ ）
A．2i
B．-2i
C．2
D．-2

3. 难度：中等

条件A：“”是结论B：“tanα≠1”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

执行如图的程序框图，则输出的λ是（ ）

A．-4
B．-2
C．0
D．-2或0

5. 难度：中等

正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则下面是该棱锥的侧视图的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

经过抛物线y²=4x的焦点且渐近线方程为x±y=0的双曲线方程是（ ）
A．x²-y²=4
B．x²-y²=2
C．x²-y²=1
D．x²-y²=-1

7. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞），|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（ ）

A．y=sin2
B．y=cos2
C．y=sin（2x+）
D．y=sin（2x-）

8. 难度：中等

若对任意正数x，均有a²＜1+x，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，1]
B．（-1，1）
C．[-，]
D．（-，）

9. 难度：中等

某三角形的三边长分别是2、3、4，则该三角形的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

10. 难度：中等

如图是姚明在六场篮球比赛中所得分数的茎叶图，则他在这六场比赛中所得分的极差是    ；中位数是    ．

11. 难度：中等

在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆ρ²+2ρcosθ-3=0标准方程是    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，∠C为直角，=（x，0），=（-1，y），则动点P（x，y）的轨迹方程是    ．

13. 难度：中等

对于函数f（x），在使f（x）≥M成立的所有常数M中，我们把M的最大值称为f（x）的“下确界“，则函数的“下确界“等于    ．

14. 难度：中等

设集合A={x|y=lgx}，B={x|x²＜2^x}，求，则A∩B=    ．

15. 难度：中等

两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a₁=1，第2个五角形数记作a₂=5，第3个五角形数记作a₃=12，第4个五角形数记作a₄=22，…，若按此规律继续下去，则a₅=    ，若a_n=145，则n=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若a为第二象限角，且，求的值．

17. 难度：中等

某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

18. 难度：中等

如图所示，在三棱锥P-ABC中，，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，AD=1，CD=3，PD=2．
（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）证明△PBC为直角三角形．

19. 难度：中等

已知二次函数f（x）的最小值为-4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤3，x∈R}．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=的零点个数．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx的图象是曲线C，点是曲线C上的一系列点，曲线C在点A_n（a_n，f（a_n））处的切线与y轴交于点B_n（0，b_n），若数列{b_n}是公差为2的等差数列，且f（a₁）=3．
（1）分别求出数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（2）设O为坐标原点，S_n表示△A_nB_n的面积，求数列{S_n}的前n项和T_n．

21. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．