2012-2013学年重庆市南开中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线y²=8x的焦点坐标为（ ）
A．（-2，0）
B．（2，0）
C．（0，2）
D．（1，0）

2. 难度：中等

若一直线l上有两点到一平面α内某一直线a的距离相等，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．平行
B．相交
C．在平面内
D．以上均有可能

3. 难度：中等

已知k为实数，若方程表示双曲线，则k的取值范围为（ ）
A．（2，5）
B．（-∞，2）∪（5，+∞）
C．（5，+∞）
D．（0，2）

4. 难度：中等

设抛物线y²=4x的焦点为F，经过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且AB的中点横坐标为2，则|AF|+|BF|的值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

5. 难度：中等

设F是抛物线的焦点，A是抛物线上一点，且AF⊥x轴，若双曲线的一条渐近线也经过A点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±2
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设有直线m、n和平面α，β，则下列说法中正确的是（ ）
A．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
B．若m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α∥β
C．若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β
D．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β

7. 难度：中等

如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为（ ）

A．π+2
B．
C．2π+2
D．2

8. 难度：中等

已知直线y=k（x-3）与双曲线恒有公共点，则双曲线离心率的取值范围（ ）
A．[9，+∞）
B．（1，9]
C．（1，2]
D．[2，+∞）

9. 难度：中等

已知F₁、F₂为椭圆E的左右两个焦点，抛物线C以F₁为顶点，F₂为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率为e，且|PF₁|=e|PF₂|则e的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，在棱长为a的正方体ABCD-的面ABB₁A₁所在平面内有一点P，满足P到棱所在直线的距离等于P到棱CC₁所在直线的距离，延长棱B₁B至点E，使得，过点E作平行于的直线l交动点P的轨迹Γ于点M，N，在分别过M，N做轨迹Γ的切线交于点Q，则△MQN的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

过椭圆的一个焦点F₁的直线与椭圆交于A，B两点，则A，B与椭圆的另一个焦点构成的△ABF₂周长等于    ．

12. 难度：中等

已知正三棱锥底面边长为2a，侧棱长，则该三棱锥表面积为    ．

13. 难度：中等

已知P是椭圆上的一动点，则点P到直线x+2y=0的距离最大值为    ．

14. 难度：中等

如图，三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱，一个是过圆柱上下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为    ．

15. 难度：中等

已知双曲线的左右焦点分别为F₁F₂，过F₁且倾斜角为60°的直线l与双曲线交于M，N两点，则△MNF₂的内切圆半径为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，在正方形ABCD-中，E，F分别是棱AB，BC中点．
（1）求证：EF∥平面
（2）求证：EF⊥平面BB₁D．

17. 难度：中等

已知点F（1，0）和直线l：x=-1，动点P到直线l的距离等于到点F的距离．
（1）求点P的轨迹C的方程
（2）过点（2，0）作直线交P的轨迹C于点A，B，交l于点M，若点M的纵坐标为-3，求|AB|

18. 难度：中等

如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E，F分别为线段PB，PC的中点，且AD=4，PA=AB=2
（1）求直线EC和面PAD所成的角
（2）求点P到平面AFD的距离．

19. 难度：中等

已知双曲线W：，其中一个焦点到相应准线间的距离为，渐近线方程为
（1）求双曲线W的方程
（2）过点Q（0，1）的直线l交双曲线W与A，B两个不同的点，若坐标原点O在以线段AB为直径的圆外，求直线l的斜率的取值范围．

20. 难度：中等

如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（1）求证：AC⊥平面BDE；
（2）设点M是线段BD 上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

21. 难度：中等

如图，椭圆C₁：+y²=1，x轴被曲线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的长半轴长．
（1）求实数b的值；
（2）设C₂与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C₂相交于点A、B，直线MA、MB分别与C₁相交与D、E．
①证明：MD•ME=0；
②记△MAB，△MDE的面积分别是S₁，S₂．若=λ，求λ的取值范围．