2012-2013学年浙江省杭州市西湖高级中学高二（上）12月月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若直线l经过原点和点A（-2，-2），则它的斜率为（ ）
A．-1
B．1
C．1或-1
D．0

2. 难度：中等

各棱长均为a的三棱锥的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ）
A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台
D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台

4. 难度：中等

经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x轴上的截距为（ ）
A．
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

已知A（1，0，2），B（1，-3，1），点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为（ ）
A．（-3，0，0）
B．（0，-3，0）
C．（0，0，-3）
D．（0，0，3）

6. 难度：中等

如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

7. 难度：中等

圆心为C（6，5），且过点B（3，6）的圆的方程为（ ）
A．（x-6）²+（y-5）²=10
B．（x-6）²+（y+5）²=10
C．（x-5）²+（y-6）²=10
D．（x-5）²+（y+6）²=10

8. 难度：中等

在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC₁的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

9. 难度：中等

给出下列命题
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直
②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行
③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直
其中正确命题的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

10. 难度：中等

点P（x，y）在圆x²+y²=r²内，则直线和已知圆的公共点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．不能确定

二、填空题

11. 难度：中等

已知原点O（0，0），则点O到直线x+y+2=0的距离等于    ．

12. 难度：中等

经过两圆x²+y²=9和（x+4）²+（y+3）²=8交点的直线方程为    ．

13. 难度：中等

过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程    ．

14. 难度：中等

如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为    ．

15. 难度：中等

已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，给出下列命题：
①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；
②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；
③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥β；
④若l⊂β，l⊥α，则α⊥β；
⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l．
其中正确命题的序号是    ．（把你认为正确命题的序号都填上）

三、解答题

16. 难度：中等

空间四边形A、B、C、D中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，且AC=BD，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．

17. 难度：中等

求经过直线l₁：3x+4y-5=0与直线l₂：2x-3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线方程
（1）与直线2x+y+5=0平行；
（2）与直线2x+y+5=0垂直．

18. 难度：中等

求圆心在直线l₁：y-3x=0上，与x轴相切，且被直线l₂：x-y=0截得弦长为的圆的一般方程．

19. 难度：中等

如图，在棱长为ɑ的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是CB、CD、CC₁的中点．
（1）求直线A₁C与平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）求证：平面A B₁D₁∥平面EFG；
（3）求证：平面AA₁C⊥面EFG．

四、填空题

20. 难度：中等

若某几何体的三视图 （单位：cm） 如图所示，则此几何体的体积是    cm³．

21. 难度：中等

过点（-4，0）作直线L与圆x²+y²+2x-4y-20=0交于A、B两点，如果|AB|=8，则L的方程为    ．

22. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长相等，点D是棱CC₁的中点，则AA₁与面ABD所成角的大小是    ．

23. 难度：中等

已知实数x，y满足x²+y²-2x+4y+4=0，不等式x-2y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是    ．

24. 难度：中等

关于x的方程=x+a有且只有一个实根，则a的取值范围是    ．

五、解答题

25. 难度：中等

已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，
（1）求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．

26. 难度：中等

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，D是侧棱CC₁的中点，直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为45°．
（1）求此正三棱柱的侧棱长；
（2）求二面角A-BD-C的平面角的正切值．