2012-2013学年天津一中高三（上）零月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若=a+bi（i是虚数单位，a、b∈R），则ab为（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．-3

2. 难度：中等

已知几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．4
C．
D．

3. 难度：中等

设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（ ）
A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l
B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ
C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α
D．n⊥α，n⊥β，m⊥α

4. 难度：中等

若函数y=a^1-x（a＞0，a≠1）的图象过定点A，点A在直线mx+ny=1（m、n＞0）上，则的最小值为（ ）
A．5
B．2
C．7
D．4

5. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=1-a_n（n∈N^∗ ），S_n为数列的前n项和，则S₂₀₀₆-2S₂₀₀₇+S₂₀₀₈为（ ）
A．5
B．-1
C．-3
D．2

6. 难度：中等

函数y=2x-1+log₂x的零点所在的区间为（ ）
A．（0.5，2）
B．（0.5，1）
C．[0.5，1]
D．[0.5，2]

7. 难度：中等

过点M（1，2）的直线把圆x²+y²-4x=5分成两段弧，则劣弧最短时直线方程为（ ）
A．3x-2y+2=0
B．x-y-1=0
C．x+y-3=0
D．x-2y+3=0

8. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．（4²⁵-1）
B．（4²⁶-1）
C．2⁵⁰-1
D．2⁵¹-1

二、填空题

9. 难度：中等

的展开式中x²项的系数为60，则实数a=    ．

10. 难度：中等

已知5cos（45°+x）=3，则sin2x=    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是    ．

12. 难度：中等

已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为     ．

13. 难度：中等

极坐标系中，曲线ρ=10cosθ和直线3ρcosθ-4ρsinθ-30=0交于A、B两点，则线段AB的长=    ．

14. 难度：中等

已知PA是圆O（O为圆心）的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，，则线段PB的长为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知△ABC中，A、B、C分别为三个内角，a、b、c为所对边，2（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB，△ABC的外接圆半径为，
（1）求角C；
（2）求△ABC面积S的最大值．

16. 难度：中等

如图为一多面体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，CE∥DP，且PD=2CE．
（1）求证：BE∥平面PDA；
（2）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；
（3）若PD=AD，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的余弦值．

17. 难度：中等

有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…n的n个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，已知ξ=2时，共有6种坐法．
（1）求n的值；
（2）求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

18. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）
（1）若数列{a_n+c}成等比数列，求常数c值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n
（3）数列{a_n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上，且满足，求的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax⁴lnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求c的取值范围．