2012-2013学年湖南省株洲市攸县二中高三（上）第四次月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={-1，0，a}，B={x|0＜x＜1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，0）
B．（0，1）
C．{1}
D．（1，+∞）

2. 难度：中等

复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

函数的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．π
D．2π

4. 难度：中等

一个圆台的正视图如图所示，则其体积等于（ ）

A．6π
B．
C．
D．14π

5. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，已知a₃=5，a₅=9，则S₇等于（ ）
A．13
B．35
C．49
D．63

6. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“若x²=1，则x≠1”
B．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x²+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

7. 难度：中等

若曲线f（x）=x⁴-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P的坐标为（ ）
A．（-1，2）
B．（1，-3）
C．（1，0）
D．（1，5）

8. 难度：中等

在平面直角坐标中，h为坐标原点，设向量=，=，其中=（3，1），=（1，3），若=λ+μ，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设第一象限内的点（x，y）满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为40，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．4

二、填空题

10. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}（n∈N⁺）的前n项和，且a₁=1，a₄=7，则S₅=    ．

11. 难度：中等

观察下列等式：1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=1+2+3，1-4+9-16=-（1+2+3+4），…，照此规律，第五个等式应为    ．

12. 难度：中等

有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为    ．

13. 难度：中等

若下列框图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，已知，的值为    ．

15. 难度：中等

在边长为1的正三角形ABC中，设，则=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA=acosC．
（I）求角C的大小；
（II）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，．
（1）求证：BD⊥平面PAD；
（2）求三棱锥A-PCD的体积．

18. 难度：中等

（文科）有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，5．同时投掷这两枚玩具一次，记m为两个朝下的面上的数字之和．
（1）求事件“m不小于6”的概率；
（2）“m为奇数”的概率和“m为偶数”的概率是不是相等？证明你作出的结论．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为，{b_n}为等比数列，且．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{c_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送（满载）到相距400km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u（单位：L）与速度v（单位：km/h）的关系近似地满足u=除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升（L）7.5元．
（1）设运送这车水果的费用为y（元）（不计返程费用），将y表示成速度v的函数关系式；
（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？

21. 难度：中等

（理科做）已知函数f（x）=lnx-a²x²+ax（a≥0）．
（1）当a=1时，证明函数f（x）只有一个零点；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．