2012-2013学年安徽省淮北一中高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|x＞3}，B={x|}，则A∩B=（ ）
A．∅
B．（3，4）
C．（-2，1）
D．（4，+∞）

2. 难度：中等

直线x+y+1=0与圆（x-1）²+y²=2的位置关系是（ ）
A．相切
B．相交
C．相离
D．不能确定

3. 难度：中等

设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）
A．≥4
B．a³+b³≥2ab²
C．a²+b²+2≥2a+2b
D．≥

4. 难度：中等

在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是（ ）
A．
B．4
C．
D．2

5. 难度：中等

已知函数，则f（x）的值域是（ ）
A．[-1，1]
B．
C．
D．

6. 难度：中等

有一几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ）

A．4+
B．4+
C．4+
D．4+π

7. 难度：中等

定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2^x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（ ）
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④

8. 难度：中等

设CD是△ABC的边AB上的高，且满足，则（ ）
A．
B．或
C．或
D．或

9. 难度：中等

等差数列{a_n}中，S_n是其前n项和，a₁=-2013，，则S₂₀₁₃=（ ）
A．-2012
B．2013
C．2012
D．-2013

10. 难度：中等

已知函数f（x）=2mx²-2（4-m）x+1，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，2）
B．（0，8）
C．（2，8）
D．（-∞，0）

二、填空题

11. 难度：中等

将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于    ．

12. 难度：中等

设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}是非零等差数列，又a₁，a₃，a₉组成一个等比数列的前三项，则的值是    ．

14. 难度：中等

给定下列命题：
①半径为2，圆心角的弧度数为的扇形的面积为；
②若a、β为锐角，，则；
③若A、B是△ABC的两个内角，且sinA＜sinB，则BC＜AC；
④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对边的长，且a²+b²-c²＜0，则△ABC一定是钝角三角形．
其中真命题的序号是    ．

15. 难度：中等

已知两条直线l₁：y=m 和l₂：y=（m＞0），直线l₁与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点A，B，直线l₂与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于C，D．记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a 和b．当m变化时，的最小值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

实数a，b是分别从集合A={1，2，3，4}中随机抽取的元素（a与b可以相同），集合B={x|x²-ax+b=0}．
（1）写出使B≠ϕ的所有实数对（a，b）；
（2）求椭机抽取的a与b的值使B≠ϕ且B⊆A的概率．

17. 难度：中等

已知：A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量，，．
（1）求角A的大小；
（2）若，求b的长．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中点．求证：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

19. 难度：中等

已知
（1）若p＞1时，解关于x的不等式f（x）≥0；
（2）若f（x）＞2对2≤x≤4时恒成立，求p的范围．

20. 难度：中等

在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（II）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}滿足，证明：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）证明：．