2012-2013学年北大附中河南分校高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设a是实数，且，则实数a=（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．-2

2. 难度：中等

已知集合P={正奇数}和集合M={x|x=a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是（ ）
A．加法
B．除法
C．乘法
D．减法

3. 难度：中等

已知各项为正的等比数列{a_n}中，a₄与a₁₄的等比中项为，则2a₇+a₁₁的最小值为（ ）
A．16
B．8
C．
D．4

4. 难度：中等

已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x+4），当x＞2时，f（x）单调递增，若x₁+x₂＜4且（x₁-2）（x₂-2）＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值（ ）
A．恒大于0
B．恒小于0
C．可能等于0
D．可正可负

5. 难度：中等

定义行列式运算=a₁a₄-a₂a₃．将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设等差数{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₅＞0，S₁₆＜0，则中最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在数列{a_n}中，已知a₁=2，a₂=7，a_n+2等于a_na_n+1（n∈N^*）的个位数，则a₂₀₁₃的值是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2

9. 难度：中等

由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（ ）
A．
B．2-ln3
C．4+ln3
D．4-ln3

10. 难度：中等

△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在方向上的投影为（ ）
A．
B．3
C．
D．-3

11. 难度：中等

已知函数f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂的值为（ ）
A．1-log₂₀₁₃2012
B．-1
C．-log₂₀₁₃2012
D．1

12. 难度：中等

设函数f（x）=xⁿ+x-1（（n∈N₊，n≥2）．则f（x）在区间（，1）内（ ）
A．存在唯一的零点x_n，且数列x₂，x₃，…，x_n…单调递增
B．存在唯一的零点x_n，且数列x₂，x₃，…，x_n…单调递减
C．存在唯一的零点x_n，且数列x₂，x₃，…，x_n…非单调数列
D．不存在零点

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量和的夹角为120°，，则=    ．

14. 难度：中等

已知函数，则f（f（0）-3）=．    ．

15. 难度：中等

已知正实数x，y满足x+y+3=xy，若对任意满足条件的x，y，都有（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为    ．

16. 难度：中等

设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤f（）|对一切x∈R恒成立，则
①f（）=0；
②|f（）|＜|f（）|；
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
⑤经过点（a，b）的所有直线均与函数f（x）的图象相交．
以上结论正确的是    （写出所有正确结论的编号）．

三、解答题

17. 难度：中等

A、B是直线图象的两个相邻交点，且．
（I）求ω的值；
（II）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若的面积为，求a的值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃（1-S_n+1），求适合方程的n的值．

19. 难度：中等

已知向量=（sinx，），=（cosx，-1）．
（1）当时，求cos²x-sin2x的值；
（2）设函数f（x）=2（）-，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求 f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．

20. 难度：中等

设正项等比数列{a_n}的首项，前n项和为S_n，且2¹⁰S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0．
（Ⅰ）求{a_n}的通项；
（Ⅱ）求{nS_n}的前n项和T_n．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围；
（3）当x＞y＞e-1时，求证：．

22. 难度：中等

已知a，b是正实数，设函数f（x）=xlnx，g（x）=-a+xlnb．
（Ⅰ）设h（x）=f（x）-g（x），求h（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在x，使x∈[，]且f（x）≤g（x）成立，求的取值范围．