2012-2013学年广东省华南师大附中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的虚部是（ ）
A．-
B．
C．
D．1

2. 难度：中等

直线2x-y+4=0在两轴上的截距之和是（ ）
A．6
B．4
C．3
D．2

3. 难度：中等

定义：，其中θ为向量与的夹角，若，，，则等于（ ）
A．-8
B．8
C．-8或8
D．6

4. 难度：中等

设tanα=，则sinα-cosα的值（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列命题：其中真命题的个数是（ ）
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；        
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥a；        
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

6. 难度：中等

函数在区间[0，2π]上的零点个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

7. 难度：中等

设命题，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

下列不等式一定成立的是（ ）
A．lg（x²+）＞lgx（x＞0）
B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）
C．x²+1≥2|x|（x∈R）
D．（x∈R）

9. 难度：中等

曲线（x＞0）上的点到直线3x+4y+3=0的距离的最小值为（ ）
A．3
B．
C．
D．4

10. 难度：中等

将函数的图象向右平移ϕ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线对称，则ϕ的最小正值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

如图是2013年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为    ．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，a₃=1，a₄+a₁₀=18，则首项a₁=    ．

13. 难度：中等

若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为    ．

14. 难度：中等

如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且，则sinC的值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．

16. 难度：中等

（1）已知实数a，b∈{-2，-1，1，2}，求直线y=ax+b不经过第四象限的概率；
（2）已知A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB反射后又回到P点，求光线所经过的路程的长度．

17. 难度：中等

某公司有价值a万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入资金，相应就要提高生产产品的售价．假设售价y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
①y与a-x和x的乘积成正比；②y=a²；
③其中t为常数，且t∈[0，1]．
（1）设y=f（x），试求出f（x）的表达式，并求出y=f（x）的定义域；
（2）求出售价y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．

18. 难度：中等

如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，PC与⊙O所在的平面成45°角，E是PC中点．F为PB中点．
（1）求证：EF∥面ABC；
（2）求证：EF⊥面PAC；
（3）求三棱锥B-PAC的体积．

19. 难度：中等

设x₁、x₂是函数（a＞0）的两个极值点．
（1）若x₁＜2＜x₂＜4，求证：f′（-2）＞3；
（2）如果|x₁|＜2，|x₂-x₁|=2，求b的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，数列{b_n}满足b_n=lna_n，数列{c_n}满足c_n=a_n+b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试比较与的大小，并说明理由；
（3）我们知道数列{a_n}如果是等差数列，则公差是一个常数，显然在本题的数列{c_n}中，不是一个常数，但是否会小于等于一个常数k呢？若会，求出k的取值范围；若不会，请说明理由．